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Problema resuelto de Matemáticas II: DeterminantesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Enunciado

Se sabe que

\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2.

Calcula, explicando las propiedades aplicadas,

a)

\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix}

. (1,5 puntos)

b)

\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix}

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

-12

(factor 3 de la primera fila;

F_2 - F_1

F_3 + F_1

no lo cambian; factores

-1

2

de las filas 2 y 3).

b)

-4

(determinante de la traspuesta igual al original; factor 2 de la tercera columna; un intercambio de columnas cambia el signo).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No se puede (ni hace falta) calcular

a, b, c\ldots

: hay que ir transformando cada determinante, con las propiedades, hasta llegar al dado. Las que vamos a usar:

Si se multiplica una fila (o columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número (y, al revés, se puede sacar factor común de una fila).
Si a una fila se le suma un múltiplo de otra, el determinante no cambia.
Si se intercambian dos filas (o columnas), el determinante cambia de signo.
$|A^t| = |A|$ : todo lo que vale para filas vale para columnas.

El corrector puntúa sobre todo la explicación, así que cada paso va con su propiedad.

Desarrollo

a) Factor común de la primera fila. Todos sus elementos llevan un 3:

\begin{vmatrix} 3a & 3b & 3c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} a & b & c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{vmatrix}

Sumar a una fila un múltiplo de otra. Hacemos

F_2 \to F_2 - F_1

F_3 \to F_3 + F_1

, que no cambian el determinante:

= 3\begin{vmatrix} a & b & c \\ -p & -q & -r \\ 2x & 2y & 2z \end{vmatrix}

Factor común en las filas 2 y 3. Sacamos

-1

de la segunda y

2

de la tercera:

= 3\cdot(-1)\cdot 2\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = -6\cdot 2 = -12

b) Traspuesta. Un determinante es igual al de su traspuesta, así que

\begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 2

Factor común de la tercera columna. En el que nos piden, la tercera columna lleva un 2:

\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} a & x & p \\ b & y & q \\ c & z & r \end{vmatrix}

Intercambio de columnas. Al intercambiar la segunda y la tercera columna el determinante cambia de signo:

\begin{vmatrix} a & x & p \\ b & y & q \\ c & z & r \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z \end{vmatrix} = -2

Resultado.

\begin{vmatrix} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{vmatrix} = 2\cdot(-2) = -4

Consejo

En este ejercicio la explicación vale más que la cuenta: el corrector da 1 punto de los 1,5 del a) y medio de los otros dos del b) solo por nombrar bien las propiedades. Escribe cada transformación ( $F_2 \to F_2 - F_1$ ) y la propiedad que la justifica.

Cuidado con un error muy común: sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante, pero sustituir una fila por un múltiplo de sí misma más otra sí ( $F_2 \to 2F_2 + F_1$ lo multiplica por 2).