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Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Enunciado

Tenemos dos urnas con bolas de colores. La urna A contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 4 bolas azules. La urna B contiene 2 bolas verdes, 2 bolas rojas y 3 bolas azules. Se saca, al azar, una bola de la urna A y se mete en la urna B. Posteriormente se saca una bola de la urna B.

a) Realiza el correspondiente diagrama de árbol. (0,5 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde. (0,75 puntos)

c) Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja. (0,5 puntos)

d) Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Árbol de tres ramas (verde

\frac14

, roja

\frac5{12}

, azul

\frac13

) y, de cada una, tres ramas con B de 8 bolas.

b)

P(V_B) = \dfrac{9}{32} \approx 0{,}281

.

c)

P(V_B \mid R_A) = \dfrac14 = 0{,}25

.

d)

P(R_A \mid V_B) = \dfrac{10}{27} \approx 0{,}370

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un experimento en dos etapas: lo que sale de A cambia la composición de B. El árbol tiene una primera rama por cada color sacado de A y, de cada una, las ramas de la segunda extracción con B ya modificada (8 bolas).

b) Probabilidad total: se suman los caminos que acaban en verde.
c) Es una probabilidad de la segunda rama, leída directamente en el árbol.
d) Es la «pregunta al revés» (conocemos el resultado final y preguntamos por la primera etapa): Bayes.

Notación:

V_A, R_A, Az_A

para el color sacado de A y

V_B, R_B, Az_B

para el sacado de B.

Desarrollo

a) Primera etapa (urna A, 12 bolas).

P(V_A) = \frac{3}{12} = \frac14, \qquad P(R_A) = \frac{5}{12}, \qquad P(Az_A) = \frac{4}{12} = \frac13

Segunda etapa (urna B, ahora con 8 bolas). Según el color que haya entrado:

Si entró verde, B tiene 3 V, 2 R, 3 Az: $P(V_B \mid V_A) = \frac38$ , $P(R_B \mid V_A) = \frac28$ , $P(Az_B \mid V_A) = \frac38$ .
Si entró roja, B tiene 2 V, 3 R, 3 Az: $P(V_B \mid R_A) = \frac28$ , $P(R_B \mid R_A) = \frac38$ , $P(Az_B \mid R_A) = \frac38$ .
Si entró azul, B tiene 2 V, 2 R, 4 Az: $P(V_B \mid Az_A) = \frac28$ , $P(R_B \mid Az_A) = \frac28$ , $P(Az_B \mid Az_A) = \frac48$ .

El diagrama. Del punto de partida salen tres ramas, «verde de A» (

\frac14

), «roja de A» (

\frac{5}{12}

) y «azul de A» (

\frac13

); de cada una salen otras tres, «verde de B», «roja de B» y «azul de B», con las probabilidades de la lista anterior. En total, nueve caminos; la probabilidad de cada uno es el producto de sus dos ramas.

b) Probabilidad total. Sumamos los tres caminos que acaban en verde de B:

P(V_B) = \frac14\cdot\frac38 + \frac{5}{12}\cdot\frac28 + \frac13\cdot\frac28 = \frac{9}{96} + \frac{10}{96} + \frac{8}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32} \approx 0{,}2813

c) Condicionada. Si de A salió roja, B queda con 2 verdes de 8 bolas:

P(V_B \mid R_A) = \frac{2}{8} = \frac14 = 0{,}25

d) Bayes.

P(R_A \mid V_B) = \frac{P(R_A)\,P(V_B \mid R_A)}{P(V_B)} = \frac{\frac{5}{12}\cdot\frac14}{\frac{9}{32}} = \frac{10/96}{27/96} = \frac{10}{27} \approx 0{,}3704

Comprobación. Las tres probabilidades «a posteriori» suman 1:

\frac{9}{27} + \frac{10}{27} + \frac{8}{27} = 1

✓.

Consejo

El error más común es olvidar que la urna B pasa a tener 8 bolas: todas las probabilidades de la segunda etapa van sobre 8, no sobre 7.

Distingue bien c) y d): en c) se conoce lo de A y se pregunta por B (se lee en el árbol); en d) se conoce lo de B y se pregunta por A (Bayes). Escribir las probabilidades con un denominador común, como $\frac{10}{96}$ y $\frac{27}{96}$ , hace la división de Bayes inmediata.