Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

Enunciado

Calcula las dos integrales siguientes:

a)

\displaystyle\int \frac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1}\,dx

, (1,25 puntos)

b)

\displaystyle\int \frac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1}\,dx

. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\displaystyle\int \frac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1}\,dx = \frac{x^2}{2} - 2x - \frac{4}{x + 1} + C

.

b)

\displaystyle\int \frac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1}\,dx = -3\ln|x + 1| - \frac{5}{x + 1} + C

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos son integrales racionales con el mismo denominador, que es un cuadrado perfecto:

x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

a) El numerador tiene más grado que el denominador: primero se dividen los polinomios, y la integral queda en un polinomio más una fracción propia.
b) La fracción ya es propia: se descompone en fracciones simples con la raíz doble $x = -1$ , es decir, $\dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2}$ .

Cada trozo es inmediato:

\int \frac{dx}{x+1} = \ln|x + 1|

\int \frac{dx}{(x+1)^2} = -\frac{1}{x+1}

Desarrollo

a) División. Dividimos

x^3 - 3x + 2

entre

x^2 + 2x + 1

. El cociente es

x - 2

, porque

(x^2 + 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2 = x^3 - 3x - 2

y el resto es

(x^3 - 3x + 2) - (x^3 - 3x - 2) = 4

. Por tanto,

\frac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1} = x - 2 + \frac{4}{(x + 1)^2}

Integración.

\int \left(x - 2 + \frac{4}{(x + 1)^2}\right) dx = \frac{x^2}{2} - 2x + 4\int (x + 1)^{-2}\,dx = \frac{x^2}{2} - 2x - \frac{4}{x + 1} + C

Comprobación. Al derivar:

x - 2 + \dfrac{4}{(x + 1)^2}

✓.

b) Fracciones simples.

\frac{2 - 3x}{(x + 1)^2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} \;\Longrightarrow\; 2 - 3x = A(x + 1) + B

Con

x = -1

2 + 3 = B

, así que

B = 5

. Igualando los coeficientes de

x

A = -3

\frac{2 - 3x}{(x + 1)^2} = -\frac{3}{x + 1} + \frac{5}{(x + 1)^2}

Integración.

\int \frac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1}\,dx = -3\int \frac{dx}{x + 1} + 5\int \frac{dx}{(x + 1)^2} = -3\ln|x + 1| - \frac{5}{x + 1} + C

Comprobación. Al derivar:

-\dfrac{3}{x + 1} + \dfrac{5}{(x + 1)^2} = \dfrac{-3(x + 1) + 5}{(x + 1)^2} = \dfrac{2 - 3x}{(x + 1)^2}

✓.

Consejo

Antes de descomponer en fracciones simples, mira los grados: si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, hay que dividir primero. Y con una raíz doble hacen falta los dos términos, $\frac{A}{x+1}$ y $\frac{B}{(x+1)^2}$ .

Ojo con $\int \frac{dx}{(x+1)^2}$ : no es un logaritmo, es $-\frac{1}{x+1}$ . Derivar el resultado al final cuesta un minuto y te asegura los 1,25 puntos.