Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

También trata: Límites y continuidad

Enunciado

Sea

f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 2x + 1}

.

a) Encuentra las asíntotas de

f

. (0,5 puntos)

b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

. (1 punto)

c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 0

. (0,5 puntos)

d) Haz una representación aproximada de la gráfica de la función

f

. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Asíntota vertical

x = 1

; asíntota horizontal

y = 0

(en

\pm\infty

); no hay oblicuas.

b)

f'(x) = -\dfrac{x + 1}{(x - 1)^3}

: decreciente en

(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)

y creciente en

(-1, 1)

; mínimo relativo en

\left(-1, -\frac14\right)

.

c)

y = x

.

d) Gráfica con las asíntotas, el mínimo y el paso por el origen descritos en el desarrollo.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero, ver que el denominador es un cuadrado perfecto:

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

. Así

f(x) = \frac{x}{(x - 1)^2}, \qquad \text{Dom}\, f = \mathbb{R}\setminus\{1\}

y todo se simplifica:

a) Asíntota vertical donde se anula el denominador (y no el numerador); horizontal, con el límite en $\pm\infty$ .
b) Derivamos, simplificamos un factor $(x - 1)$ y estudiamos el signo de $f'$ en los intervalos que marcan sus ceros y el punto que no es del dominio.
c) $y - f(0) = f'(0)\,(x - 0)$ .
d) Juntamos asíntotas, monotonía, extremo y algunos puntos.

Desarrollo

a) Asíntota vertical. El denominador se anula en

x = 1

y el numerador no:

\lim_{x\to 1^-} \frac{x}{(x - 1)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x\to 1^+} \frac{x}{(x - 1)^2} = \frac{1}{0^+} = +\infty

x = 1

es asíntota vertical (por los dos lados la función sube a

+\infty

, porque el denominador es un cuadrado).

Asíntota horizontal. El grado del denominador es mayor que el del numerador:

\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 2x + 1} = 0

y = 0

es asíntota horizontal en

-\infty

y en

+\infty

. Al haber horizontal, no hay oblicuas.

b) Derivada. Por la regla del cociente:

f'(x) = \frac{1\cdot(x - 1)^2 - x\cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{(x - 1)\big[(x - 1) - 2x\big]}{(x - 1)^4} = \frac{-x - 1}{(x - 1)^3} = -\frac{x + 1}{(x - 1)^3}

Puntos que marcan los intervalos.

f'(x) = 0 \iff x = -1

; además

x = 1

no es del dominio.

Signo de $f'$ .

	$(-\infty, -1)$	$(-1, 1)$	$(1, +\infty)$
$-(x + 1)$	$+$	$-$	$-$
$(x - 1)^3$	$-$	$-$	$+$
$f'(x)$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

x = -1

la función pasa de decrecer a crecer: hay un mínimo relativo en

\left(-1, -\frac{1}{4}\right)

, ya que

f(-1) = \dfrac{-1}{4}

.

c) Punto y pendiente.

f(0) = \dfrac{0}{1} = 0

f'(0) = -\dfrac{0 + 1}{(0 - 1)^3} = -\dfrac{1}{-1} = 1

.

Tangente.

y - 0 = 1\cdot(x - 0)

, es decir,

y = x

.

d) Datos para el dibujo.

Corta a los ejes solo en el origen $(0, 0)$ .
Signo: $f(x) < 0$ si $x < 0$ y $f(x) > 0$ si $x > 0$ , $x \neq 1$ (el denominador siempre es positivo).
Asíntotas $x = 1$ (por los dos lados hacia $+\infty$ ) e $y = 0$ .
Mínimo en $\left(-1, -\frac14\right)$ . Algunos puntos más: $f(-2) = -\frac{2}{9}$ , $f\!\left(\frac12\right) = 2$ , $f(2) = 2$ , $f(3) = \frac34$ .

Descripción de la gráfica. Por la izquierda (cuando

x \to -\infty

) la curva va pegada al eje

X

por debajo, baja muy poco hasta el mínimo

\left(-1, -\frac14\right)

, sube cruzando el origen —donde es tangente a la recta

y = x

— y se dispara hacia

+\infty

al acercarse a

x = 1

por la izquierda. A la derecha de la asíntota vertical baja desde

+\infty

, pasa por

(2, 2)

\left(3, \frac34\right)

y se va acercando al eje

X

por encima, sin llegar a tocarlo.

Consejo

Factorizar el denominador al principio, $(x - 1)^2$ , te ahorra mucho trabajo: la derivada se simplifica dividiendo por $(x - 1)$ y ves enseguida que la función tiende a $+\infty$ por los dos lados de $x = 1$ .

Al estudiar la monotonía, incluye en la tabla los puntos que no son del dominio ( $x = 1$ ), aunque no anulen la derivada: ahí puede cambiar el signo de $f'$ . Y en el dibujo, que se vean las asíntotas y el mínimo: es lo que se evalúa.