Matemáticas IIMedio2,5 pts

Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
País Vasco · 2024 · Junio
Enunciado
Se consideran las siguientes rectas:r≡{x=2λ,y=−1+4λ,z=2−λ;s≡{2x−y=1,z=3.r \equiv \begin{cases} x = 2\lambda, \\ y = -1 + 4\lambda, \\ z = 2 - \lambda; \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y = 1, \\ z = 3. \end{cases}a) Calcula la posición relativa de las rectas rr y ss. (1 punto)

b) Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. (0,75 puntos)

c) Dado el punto P(−8,−8,0)P(-8, -8, 0), calcula el punto QQ de la recta rr de modo que el vector PQ→\overrightarrow{PQ} sea perpendicular a la recta rr. (0,75 puntos)
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Resultado
a) Las rectas se cortan, en el punto (−2,−5,3)(-2, -5, 3).

b) π≡2x−y−1=0\pi \equiv 2x - y - 1 = 0.

c) Q=(−4,−9,4)Q = (-4, -9, 4).
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Estrategia

Lo primero es tener un punto y un vector director de cada recta. La rr ya viene en paramétricas; la ss, en implícitas, se pasa a paramétricas tomando xx como parámetro.
  • a) Si los directores no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto [PrPs→,v⃗r,v⃗s]\big[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec v_r, \vec v_s\big]: si es cero, son coplanarias y se cortan.
  • b) Si se cortan, hay un plano que las contiene: su normal es v⃗r×v⃗s\vec v_r \times \vec v_s y pasa por cualquier punto de una de ellas.
  • c) QQ es un punto genérico de rr; imponemos PQ→⋅v⃗r=0\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r = 0. Ese QQ es la proyección ortogonal de PP sobre rr.
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Desarrollo

a) Elementos de rr. Pr=(0,−1,2)P_r = (0, -1, 2) y v⃗r=(2,4,−1)\vec v_r = (2, 4, -1).

Elementos de ss. Con x=tx = t: y=2t−1y = 2t - 1, z=3z = 3, es decir,s≡(x,y,z)=(0,−1,3)+t (1,2,0),Ps=(0,−1,3),v⃗s=(1,2,0)s \equiv (x, y, z) = (0, -1, 3) + t\,(1, 2, 0), \qquad P_s = (0, -1, 3),\quad \vec v_s = (1, 2, 0)¿Paralelas? 21=42≠−10\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} \neq \dfrac{-1}{0}: los directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas (ni coincidentes): o se cortan o se cruzan.

Producto mixto. Con PrPs→=(0,0,1)\overrightarrow{P_rP_s} = (0, 0, 1):[PrPs→,v⃗r,v⃗s]=∣00124−1120∣=1⋅(2⋅2−4⋅1)=0\big[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec v_r, \vec v_s\big] = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot(2\cdot 2 - 4\cdot 1) = 0Los tres vectores son coplanarios: las rectas se cortan.

Punto de corte. Llevamos rr a las ecuaciones de ss: de z=3z = 3, 2−λ=3⇒λ=−12 - \lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -1, que da el punto (−2,−5,3)(-2, -5, 3). Comprobamos la otra ecuación: 2(−2)−(−5)=12(-2) - (-5) = 1 ✓. Se cortan en (−2,−5,3)(-2, -5, 3).

b) Vector normal.n⃗=v⃗r×v⃗s=∣i⃗j⃗k⃗24−1120∣=(4⋅0−(−1)⋅2, (−1)⋅1−2⋅0, 2⋅2−4⋅1)=(2,−1,0)\vec n = \vec v_r \times \vec v_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \big(4\cdot 0 - (-1)\cdot 2,\ (-1)\cdot 1 - 2\cdot 0,\ 2\cdot 2 - 4\cdot 1\big) = (2, -1, 0)Plano. 2x−y+D=02x - y + D = 0 y, como pasa por Pr=(0,−1,2)P_r = (0, -1, 2): 0+1+D=0⇒D=−10 + 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1.π≡2x−y−1=0\pi \equiv 2x - y - 1 = 0Comprobación. Es justo la primera ecuación de ss, así que s⊂πs \subset \pi; y un punto cualquiera de rr cumple 2(2λ)−(−1+4λ)−1=02(2\lambda) - (-1 + 4\lambda) - 1 = 0 ✓.

c) Punto genérico de rr. Q=(2λ, −1+4λ, 2−λ)Q = (2\lambda,\ -1 + 4\lambda,\ 2 - \lambda), así quePQ→=(2λ+8, 4λ+7, 2−λ)\overrightarrow{PQ} = (2\lambda + 8,\ 4\lambda + 7,\ 2 - \lambda)Perpendicularidad. PQ→⋅v⃗r=0\overrightarrow{PQ}\cdot\vec v_r = 0:2(2λ+8)+4(4λ+7)−(2−λ)=21λ+42=0  ⟹  λ=−22(2\lambda + 8) + 4(4\lambda + 7) - (2 - \lambda) = 21\lambda + 42 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = -2Q=(−4, −9, 4)Q = (-4,\ -9,\ 4)Comprobación. PQ→=(4,−1,4)\overrightarrow{PQ} = (4, -1, 4) y (4,−1,4)⋅(2,4,−1)=8−4−4=0(4, -1, 4)\cdot(2, 4, -1) = 8 - 4 - 4 = 0 ✓.
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Consejo

En la posición relativa de dos rectas el corrector da medio punto por ver que no son paralelas y otro medio por ver que se cortan: haz las dos comprobaciones por separado y escribe la conclusión. Si encuentras el punto de corte, ya has demostrado que se cortan.

Para pasar unas implícitas a paramétricas, despeja dos incógnitas en función de la tercera; y comprueba siempre que tu punto cumple las dos ecuaciones.
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