Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Junio

a) Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 2 & \alpha - 1 \\ 2 & 1 & \alpha - 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & \alpha - 1 & -1 \\ 2 & 1 & \alpha - 2 & 1 \end{array}\right)$$Determinante de $A$. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = \alpha\big[2(\alpha - 2) - (\alpha - 1)\big] - 1\big[(\alpha - 2) - 2(\alpha - 1)\big] + 1\,(1 - 4)$$$$|A| = \alpha(\alpha - 3) - (-\alpha) - 3 = \alpha^2 - 2\alpha - 3 = (\alpha - 3)(\alpha + 1)$$Se anula para $\alpha = 3$ y $\alpha = -1$.

Caso $\alpha \neq 3$ y $\alpha \neq -1$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}A = 3 = \operatorname{rg}A^* =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = 3$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}A = 2$. Para la ampliada basta orlar ese menor con la columna de términos independientes (la tercera columna de $A$ es igual que la segunda, así que no aporta nada):$$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3(2 + 1) - 1(1 + 2) + 2(1 - 4) = 9 - 3 - 6 = 0$$Así $\operatorname{rg}A^* = 2 = \operatorname{rg}A < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro). Por curiosidad: restando la tercera ecuación a la primera sale $x = 1$, y entonces $y + z = -1$; las soluciones son $(1,\ -1 - t,\ t)$.

Caso $\alpha = -1$.$$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}A = 2$. Orlando con los términos independientes:$$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(2 + 1) - 1(1 + 2) + 2(1 - 4) = -3 - 3 - 6 = -12 \neq 0$$Así $\operatorname{rg}A^* = 3 \neq \operatorname{rg}A = 2$: sistema incompatible. Se ve también a ojo: los coeficientes de la tercera ecuación son los de la segunda menos los de la primera, pero el término independiente debería ser $-1 - 2 = -3$ y es $1$.

b) Caso $\alpha = 1$. Como $|A| = (1 - 3)(1 + 1) = -4 \neq 0$, el sistema es compatible determinado:$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y = -1 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$$Reducción. Sumando la primera y la tercera se elimina $z$: $3x + 2y = 3$. Restándole la segunda ($x + 2y = -1$):$$2x = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2, \qquad 2y = -1 - 2 = -3 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{3}{2}$$y de la primera, $z = 2 - x - y = 2 - 2 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Comprobación. $2 - \frac32 + \frac32 = 2$ ✓; $2 - 3 + 0 = -1$ ✓; $4 - \frac32 - \frac32 = 1$ ✓.