Matemáticas IIFácil2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: ProbabilidadSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Enunciado

Sean

A

B

sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades

P(A) = 0{,}7

P(B) = 0{,}1

, y sean

\overline{A}

\overline{B}

los sucesos complementarios de

A

B

respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada:

a)

P(A \cup B)

, (0,5 puntos)

b)

P(\overline{A} \cup \overline{B})

, (0,5 puntos)

c)

P(\overline{A} \cap \overline{B})

, (0,5 puntos)

d)

P(A \cap \overline{B})

, (0,5 puntos)

e)

P(\overline{A} \mid \overline{B})

. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

P(A \cup B) = 0{,}73

P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0{,}93

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}27

P(A \cap \overline{B}) = 0{,}63

P(\overline{A} \mid \overline{B}) = 0{,}3

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave es la independencia:

P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}07

. A partir de ahí todo sale con tres herramientas:

la fórmula de la unión, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ;
las leyes de De Morgan, $\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$ y $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ , junto con $P(\overline{S}) = 1 - P(S)$ ;
la definición de probabilidad condicionada.

Desarrollo

Intersección. Por ser independientes:

P(A \cap B) = P(A)\,P(B) = 0{,}7\cdot 0{,}1 = 0{,}07

a) Probabilidad de la unión.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}7 + 0{,}1 - 0{,}07 = 0{,}73

b) Ley de De Morgan (

\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}

) y suceso contrario:

P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0{,}07 = 0{,}93

c) Ley de De Morgan (

\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}

P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}73 = 0{,}27

(También: si

A

B

son independientes, lo son sus contrarios, y

P(\overline{A})\,P(\overline{B}) = 0{,}3\cdot 0{,}9 = 0{,}27

✓.)

d) Descomposición de $A$ .

A

es la unión disjunta de

A \cap B

A \cap \overline{B}

, así que

P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})

P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}7 - 0{,}07 = 0{,}63

e) Probabilidad condicionada.

P(\overline{A} \mid \overline{B}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0{,}27}{1 - 0{,}1} = \frac{0{,}27}{0{,}9} = 0{,}3

Coincide con

P(\overline{A}) = 0{,}3

, como debe ser: si

A

B

son independientes, saber que no ocurre

B

no cambia la probabilidad de que no ocurra

A

Consejo

El enunciado pide «indicar claramente el proceso o ley aplicada»: no basta con el número. Escribe en cada apartado qué usas (independencia, De Morgan, suceso contrario, definición de condicionada). Un error típico es confundir independientes con incompatibles: aquí $P(A \cap B) = 0{,}07$ , no 0.