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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Enunciado

Se consideran las curvas de ecuaciones

y = \dfrac{x^2}{3}

y = x^2 + 2x

y = 3

.

a) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas. (1,25 puntos)

b) Calcula el área de ese recinto. (1,25 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Recinto de vértices

(0, 0)

(1, 3)

(3, 3)

: por arriba,

y = x^2 + 2x

[0, 1]

y = 3

[1, 3]

; por abajo,

y = \frac{x^2}{3}

[0, 3]

.

b)

A = \displaystyle\int_0^1 \left(\tfrac{2x^2}{3} + 2x\right)dx + \int_1^3 \left(3 - \tfrac{x^2}{3}\right)dx = \frac{11}{9} + \frac{28}{9} = \frac{13}{3}\ \text{u}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tenemos dos parábolas que pasan por el origen y una recta horizontal. Para dibujar el recinto necesitamos los puntos de corte de cada par de curvas en el primer cuadrante; con ellos vemos qué curva va por encima y por debajo en cada tramo.

Aquí el «techo» cambia: al principio es la parábola

y = x^2 + 2x

(que sube muy deprisa) y, cuando esta alcanza la altura 3, pasa a ser la recta

y = 3

. El «suelo» es siempre la parábola

y = \frac{x^2}{3}

. Por eso el área se parte en dos integrales.

Desarrollo

a) Puntos de corte.

$y = \frac{x^2}{3}$ con $y = x^2 + 2x$ : $\frac{x^2}{3} = x^2 + 2x \iff \frac{2x^2}{3} + 2x = 0 \iff x = 0$ o $x = -3$ . En el primer cuadrante, el origen $(0, 0)$ .
$y = x^2 + 2x$ con $y = 3$ : $x^2 + 2x - 3 = 0 \iff x = 1$ o $x = -3$ . En el primer cuadrante, $(1, 3)$ .
$y = \frac{x^2}{3}$ con $y = 3$ : $x^2 = 9 \iff x = \pm 3$ . En el primer cuadrante, $(3, 3)$ .

Las curvas.

y = \frac{x^2}{3}

es una parábola con vértice en el origen, abierta hacia arriba y «ancha».

y = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1

es una parábola con vértice en

(-1, -1)

que pasa por

(0, 0)

(1, 3)

; para

x > 0

va por encima de

\frac{x^2}{3}

(por ejemplo, en

x = 1

3 > \frac{1}{3}

). La recta

y = 3

es horizontal.

Dibujo. El recinto es una región curvilínea con tres vértices:

O = (0, 0)

P = (1, 3)

Q = (3, 3)

. Su lado izquierdo es el arco de

y = x^2 + 2x

O

P

; su lado superior, el segmento horizontal de

y = 3

P

Q

; y su lado inferior, el arco de

y = \frac{x^2}{3}

O

Q

. Queda como un «gajo» apoyado en el origen, ancho arriba, entre

x = 0

x = 3

.

b) Partimos el área en $x = 1$ , donde cambia la curva de arriba.

Tramo $[0, 1]$ (entre

y = x^2 + 2x

arriba y

y = \frac{x^2}{3}

abajo):

A_1 = \int_0^1 \left(x^2 + 2x - \frac{x^2}{3}\right)dx = \int_0^1 \left(\frac{2x^2}{3} + 2x\right)dx = \left[\frac{2x^3}{9} + x^2\right]_0^1 = \frac{2}{9} + 1 = \frac{11}{9}

Tramo $[1, 3]$ (entre

y = 3

arriba y

y = \frac{x^2}{3}

abajo):

A_2 = \int_1^3 \left(3 - \frac{x^2}{3}\right)dx = \left[3x - \frac{x^3}{9}\right]_1^3 = (9 - 3) - \left(3 - \frac{1}{9}\right) = 6 - \frac{26}{9} = \frac{28}{9}

Área total.

A = A_1 + A_2 = \frac{11}{9} + \frac{28}{9} = \frac{39}{9} = \frac{13}{3} \approx 4{,}33\ \text{u}^2

Consejo

Antes de integrar, dibuja: es lo que te dice que el área hay que partirla en $x = 1$ . Integrar de 0 a 3 una sola resta sería un error, porque la curva de arriba no es la misma en todo el intervalo. Los criterios dan 0,75 puntos a los puntos de corte, 0,5 al dibujo y 1,25 a la integral con la regla de Barrow: marca en el dibujo los puntos de corte con sus coordenadas.