Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

También trata: Límites y continuidad

Enunciado

Sea

f(x) = 2xe^{-2x^2}

.

a) Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f

. (1 punto)

b) Encuentra los extremos relativos de

f

y razona si son máximos o mínimos. (1 punto)

c) Calcula las asíntotas de

f

. (0,5 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) Crece en

\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

; decrece en

\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)

y en

\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)

.

b) Mínimo relativo en

\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{e}}\right)

y máximo relativo en

\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)

(

\frac{1}{\sqrt e} \approx 0{,}607

).

c) Sin asíntotas verticales ni oblicuas; asíntota horizontal

y = 0

\pm\infty

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función está definida y es derivable en todo

\mathbb{R}

(producto de un polinomio por una exponencial). Para la monotonía derivamos con la regla del producto y la de la cadena; la exponencial es siempre positiva, así que el signo de

f'

lo decide un polinomio de segundo grado. Los extremos son los ceros de

f'

, y los clasificamos con la segunda derivada (o con el cambio de signo de

f'

).

Para las asíntotas: no hay verticales (no hay puntos fuera del dominio) y en el infinito la exponencial

e^{-2x^2}

va a 0 mucho más deprisa de lo que crece

2x

Desarrollo

a) Derivada. Por la regla del producto, con

\left(e^{-2x^2}\right)' = -4x\,e^{-2x^2}

f'(x) = 2e^{-2x^2} + 2x\,(-4x)\,e^{-2x^2} = e^{-2x^2}\,(2 - 8x^2) = 2e^{-2x^2}\,(1 - 2x)(1 + 2x)

Ceros de $f'$ . Como

e^{-2x^2} > 0

siempre,

f'(x) = 0 \iff 1 - 4x^2 = 0 \iff x = \pm\frac{1}{2}

.

Signo de $f'$ . Es el de

1 - 4x^2

, una parábola hacia abajo con raíces

\pm\frac{1}{2}

Intervalo	$\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)$	$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$	$\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$
Signo de $f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	decrece	crece	decrece

b) Segunda derivada. Derivando

f'(x) = (2 - 8x^2)\,e^{-2x^2}

f''(x) = -16x\,e^{-2x^2} + (2 - 8x^2)(-4x)\,e^{-2x^2} = e^{-2x^2}\,(32x^3 - 24x) = 8x\,e^{-2x^2}\,(4x^2 - 3)

En $x = \frac{1}{2}$ .

f''\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 4\,e^{-1/2}\,(1 - 3) = -8e^{-1/2} < 0

: máximo relativo, con

f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2\cdot\tfrac{1}{2}\,e^{-2\cdot\frac{1}{4}} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0{,}607

En $x = -\frac{1}{2}$ .

f''\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -4\,e^{-1/2}\,(1 - 3) = 8e^{-1/2} > 0

: mínimo relativo, con

f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{\sqrt{e}}

.

Cuadra con la tabla del apartado a):

f

pasa de decrecer a crecer en

-\frac{1}{2}

y de crecer a decrecer en

\frac{1}{2}

. (La función es impar,

f(-x) = -f(x)

, así que los extremos son simétricos respecto del origen.)

c) Asíntotas verticales. No tiene:

f

es continua en todo

\mathbb{R}

.

Asíntotas horizontales.

\lim_{x \to \pm\infty} 2x\,e^{-2x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{e^{2x^2}} = 0

(la exponencial crece mucho más deprisa que el polinomio; con L'Hôpital,

\lim \frac{2}{4x\,e^{2x^2}} = 0

). Así que

y = 0

es asíntota horizontal en

-\infty

y en

+\infty

.

Asíntotas oblicuas. No hay: ya tiene asíntota horizontal por los dos lados.

Consejo

Al derivar $e^{-2x^2}$ no olvides la regla de la cadena: sale $-4x\,e^{-2x^2}$ . Saca la exponencial factor común: como es siempre positiva, el signo lo decide solo el polinomio. Los criterios dan 0,5 por la derivada, 0,5 por los intervalos, 0,5 por la segunda derivada, 0,5 por clasificar los extremos y 0,5 por las asíntotas: da los extremos como puntos completos, con su ordenada.