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Problema resuelto de Matemáticas II: Rectas y planosSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Enunciado

Se consideran la recta y el plano siguientes:

r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0,\\ x - y + 4z = 1; \end{cases} \qquad \pi \equiv 2x - 3y + Az = 10.

a) Calcula el valor del parámetro

A

para que la recta

r

y el plano

\pi

sean paralelos. (0,75 puntos)

b) Si

A = 21

, calcula la intersección del plano

\pi

y la recta

r

. (0,75 puntos)

c) Si

A = 1

, calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano

\pi

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 15

(con ese valor la recta no está contenida en el plano: son paralelos).

b) Con

A = 21

r \cap \pi = (2, 5, 1)

.

c) Con

A = 1

, el simétrico del origen es

O' = \left(\dfrac{20}{7}, -\dfrac{30}{7}, \dfrac{10}{7}\right)

(punto medio

M = \left(\frac{10}{7}, -\frac{15}{7}, \frac{5}{7}\right)

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es pasar

r

a paramétricas: su director es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen, y un punto sale de dar un valor a una incógnita.

a) La recta es paralela al plano cuando su director es perpendicular al normal del plano (producto escalar nulo). Hay que comprobar además que la recta no está contenida en el plano.
b) Se sustituye el punto genérico de $r$ en $\pi$ y se despeja el parámetro.
c) El simétrico se busca en tres pasos: recta perpendicular a $\pi$ por el origen, su corte $M$ con $\pi$ (el punto medio) y $O' = 2M - O$ .

Desarrollo

Director de $r$ . Es perpendicular a los normales

(2, -1, 1)

(1, -1, 4)

(2, -1, 1) \times (1, -1, 4) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (-4 + 1,\; 1 - 8,\; -2 + 1) = (-3, -7, -1)

Tomamos

\vec v_r = (3, 7, 1)

.

Un punto de $r$ . Con

z = 0

2x - y = 0

x - y = 1

, de donde

x = -1

y = -2

. Así

P_r = (-1, -2, 0)

r: \; (x, y, z) = (-1 + 3\lambda,\; -2 + 7\lambda,\; \lambda)

a) Condición de paralelismo. El normal de

\pi

\vec n_\pi = (2, -3, A)

y debe ser perpendicular a

\vec v_r

\vec v_r \cdot \vec n_\pi = 3\cdot 2 + 7\cdot(-3) + 1\cdot A = 6 - 21 + A = 0 \;\Longrightarrow\; A = 15

¿La recta está dentro del plano? Con

A = 15

, el punto

P_r

2(-1) - 3(-2) + 15\cdot 0 = 4 \neq 10

, así que

P_r \notin \pi

: la recta no está contenida en el plano y son paralelos de verdad. El plano es

2x - 3y + 15z = 10

.

b) Intersección con $A = 21$ . Sustituimos el punto genérico de

r

\pi: 2x - 3y + 21z = 10

2(-1 + 3\lambda) - 3(-2 + 7\lambda) + 21\lambda = -2 + 6\lambda + 6 - 21\lambda + 21\lambda = 4 + 6\lambda = 10 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1

El punto es

Q = (-1 + 3,\; -2 + 7,\; 1) = (2, 5, 1)

.

Comprobación.

2\cdot 2 - 5 + 1 = 0

✓,

2 - 5 + 4 = 1

✓ y

4 - 15 + 21 = 10

✓.

c) Recta perpendicular a $\pi$ por el origen. Con

A = 1

\pi: 2x - 3y + z = 10

y su normal

(2, -3, 1)

es el director:

s: \; (x, y, z) = (2\mu,\; -3\mu,\; \mu)

Punto medio $M = s \cap \pi$ .

2(2\mu) - 3(-3\mu) + \mu = 14\mu = 10 \;\Longrightarrow\; \mu = \frac{5}{7}, \qquad M = \left(\frac{10}{7}, -\frac{15}{7}, \frac{5}{7}\right)

Simétrico.

M

es el punto medio de

O

O'

, así que

O' = 2M - O

O' = \left(\frac{20}{7}, -\frac{30}{7}, \frac{10}{7}\right)

Comprobación.

O

O'

deben estar a la misma distancia del plano y a lados opuestos:

2\cdot\frac{20}{7} - 3\left(-\frac{30}{7}\right) + \frac{10}{7} - 10 = \frac{140}{7} - 10 = 10

, y para

O

sale

0 - 10 = -10

. Mismo valor absoluto y signo contrario ✓.

Consejo

El simétrico es un error clásico: el punto de corte $M$ de la perpendicular con el plano no es la respuesta, sino el punto medio entre $O$ y $O'$ . Duplica las coordenadas (si partes del origen) o usa $O' = 2M - O$ . En el apartado a), comprueba siempre que la recta no está contenida en el plano: con director perpendicular al normal también podría estar dentro.