Problema resuelto de Matemáticas II: MatricesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Una columna que depende de otras. Sumando las dos primeras columnas:$$C_1 + C_2 = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ m + 2 - m \\ m - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ m - 2 \end{pmatrix} = C_3$$Por tanto, el menor con las columnas $C_1, C_2, C_3$ es nulo para todo $m$ (una columna es combinación lineal de las otras), y lo mismo pasa con cualquier menor que contenga a la vez $C_1$, $C_2$ y $C_3$. El rango de $A$ es el de la matriz con las columnas $C_1$, $C_2$ y $C_4$ (o, igualmente, $C_2$, $C_3$, $C_4$).

Menor con las tres últimas columnas.$$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 - m & 2 & 1 \\ -2 & m - 2 & 1 \end{vmatrix}$$Restamos la primera fila a las otras dos (no cambia el determinante) y desarrollamos por la tercera columna:$$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ -1 - m & -2 & 0 \\ -5 & m - 6 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\big[(-1-m)(m-6) - (-2)(-5)\big] = -m^2 + 5m + 6 - 10 = -m^2 + 5m - 4$$$$-m^2 + 5m - 4 = -(m - 1)(m - 4)$$Caso $m \neq 1$ y $m \neq 4$. Hay un menor de orden 3 no nulo: $\operatorname{rg} A = 3$.

Caso $m = 1$.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$Ahora $C_4 = C_1$ y $C_3 = C_1 + C_2$: todas las columnas son combinación de $C_1$ y $C_2$, así que todos los menores de orden 3 son nulos y $\operatorname{rg} A \le 2$. Como$$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0,$$$\operatorname{rg} A = 2$.

Caso $m = 4$.$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$Las filas segunda y tercera son iguales, así que el rango es como mucho 2. Como$$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 12 = -14 \neq 0,$$$\operatorname{rg} A = 2$.