Matemáticas IIMedio2,5 pts

Distribución normalSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

También trata: Probabilidad
País Vasco · 2024 · Julio
Enunciado
Los resultados publicados en diciembre de 2019 sobre la aplicación de la vacuna M72 en Sudáfrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de 0,540{,}54. Se aplica la vacuna a un grupo de 32893289 adultos.

a) Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros. (0,5 puntos)

b) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 18001800 adultos. (1 punto)

c) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 17001700 adultos. (1 punto)

(Se adjunta la tabla de la distribución normal.)
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Resultado
a) X∼B(3289; 0,54)X \sim B(3289;\ 0{,}54), que se aproxima por N(μ=1776,06; σ≈28,58)N(\mu = 1776{,}06;\ \sigma \approx 28{,}58).

b) P(X=1800)≈P(0,82≤Z≤0,86)≈0,0112P(X = 1800) \approx P(0{,}82 \le Z \le 0{,}86) \approx 0{,}0112 (con más precisión, ≈0,010\approx 0{,}010).

c) P(X<1700)≈P(Z≤−2,68)≈0,0037P(X < 1700) \approx P(Z \le -2{,}68) \approx 0{,}0037.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Cada adulto vacunado es un ensayo con dos resultados (protegido o no), con la misma probabilidad p=0,54p = 0{,}54 y de forma independiente: el número de protegidos sigue una binomial. Con n=3289n = 3289 es imposible calcular a mano sus probabilidades, así que la aproximamos por una normal con la misma media y la misma desviación típica.

Como pasamos de una variable discreta a una continua, hace falta la corrección de continuidad: el valor exacto 18001800 se convierte en el intervalo [1799,5; 1800,5][1799{,}5;\ 1800{,}5], y «menos de 1700» (es decir, como mucho 1699) en «hasta 1699,5».
2

Desarrollo

a) Distribución. XX = número de adultos protegidos entre los 3289:X∼B(n=3289,  p=0,54)X \sim B(n = 3289,\; p = 0{,}54)Aproximación normal. Como np=3289⋅0,54=1776,06≥5np = 3289\cdot 0{,}54 = 1776{,}06 \ge 5 y nq=3289⋅0,46=1512,94≥5nq = 3289\cdot 0{,}46 = 1512{,}94 \ge 5, se puede aproximar por una normal conμ=np=1776,06,σ=npq=3289⋅0,54⋅0,46=816,9876≈28,58\mu = np = 1776{,}06, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{3289\cdot 0{,}54\cdot 0{,}46} = \sqrt{816{,}9876} \approx 28{,}58X≈X′∼N(1776,06; 28,58)X \approx X' \sim N(1776{,}06;\ 28{,}58)b) Corrección de continuidad.P(X=1800)≈P(1799,5≤X′≤1800,5)P(X = 1800) \approx P(1799{,}5 \le X' \le 1800{,}5)Tipificamos con Z=X′−μσZ = \dfrac{X' - \mu}{\sigma}:z1=1799,5−1776,0628,58≈0,82,z2=1800,5−1776,0628,58≈0,86z_1 = \frac{1799{,}5 - 1776{,}06}{28{,}58} \approx 0{,}82, \qquad z_2 = \frac{1800{,}5 - 1776{,}06}{28{,}58} \approx 0{,}86Tabla.P(0,82≤Z≤0,86)=P(Z≤0,86)−P(Z≤0,82)=0,8051−0,7939=0,0112P(0{,}82 \le Z \le 0{,}86) = P(Z \le 0{,}86) - P(Z \le 0{,}82) = 0{,}8051 - 0{,}7939 = 0{,}0112(Sin redondear z2=0,855z_2 = 0{,}855 a dos decimales —interpolando en la tabla— sale ≈0,0098\approx 0{,}0098, que es prácticamente el valor exacto de la binomial: la probabilidad de un valor concreto es muy pequeña y muy sensible al redondeo.)

c) Corrección de continuidad. «Menos de 1700» es X≤1699X \le 1699:P(X<1700)=P(X≤1699)≈P(X′≤1699,5)P(X < 1700) = P(X \le 1699) \approx P(X' \le 1699{,}5)Tipificamos.z=1699,5−1776,0628,58=−76,5628,58≈−2,68z = \frac{1699{,}5 - 1776{,}06}{28{,}58} = \frac{-76{,}56}{28{,}58} \approx -2{,}68Simetría y tabla.P(Z≤−2,68)=1−P(Z≤2,68)=1−0,9963=0,0037P(Z \le -2{,}68) = 1 - P(Z \le 2{,}68) = 1 - 0{,}9963 = 0{,}0037
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Consejo

Con una binomial de nn grande, la probabilidad de un valor exacto no es cero: con la corrección de continuidad se convierte en un intervalo de anchura 1 alrededor del valor. Cuidado también con «menos de 1700»: no incluye el 1700, así que el extremo es 1699,5 (no 1700,5). Escribe siempre la binomial de partida con sus parámetros: es la mitad de los puntos del apartado a).
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