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Problema resuelto de Matemáticas II: IntegralesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Enunciado

Calcula la siguiente integral, y explica el método empleado:

\int x \ln^2 x \, dx.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Por partes, dos veces (primero

u = \ln^2 x

, después

u = \ln x

, con

dv = x\,dx

en las dos):

\int x \ln^2 x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln^2 x - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + k = \frac{x^2}{4}\left(2\ln^2 x - 2\ln x + 1\right) + k

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es el producto de un polinomio (

x

) por una potencia de un logaritmo: el caso típico de integración por partes,

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Se elige como

u

lo que se simplifica al derivar (el logaritmo: su derivada es

\frac{1}{x}

) y como

dv

lo que se integra fácil (

x\,dx

). Con

\ln^2 x

, una primera aplicación lo baja a

\ln x

y una segunda lo hace desaparecer.

Desarrollo

El método. La integración por partes sale de derivar un producto:

(uv)' = u'v + uv'

, así que

\int u\,dv = uv - \int v\,du

. Conviene cuando la integral

\int v\,du

es más sencilla que la de partida.

Primera integración por partes.

u = \ln^2 x \;\Rightarrow\; du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2}

\int x \ln^2 x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln^2 x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln^2 x - \int x \ln x\,dx

Segunda integración por partes.

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = x\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2}

\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}

Juntando.

\int x \ln^2 x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln^2 x - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + k

Comprobación derivando.

\left(\frac{x^2}{2}\ln^2 x\right)' = x\ln^2 x + x\ln x, \quad \left(-\frac{x^2}{2}\ln x\right)' = -x\ln x - \frac{x}{2}, \quad \left(\frac{x^2}{4}\right)' = \frac{x}{2}

La suma es

x\ln^2 x

✓.

Consejo

El enunciado pide explicar el método, y los criterios lo puntúan aparte (0,5 puntos): escribe la fórmula de partes y di qué tomas como $u$ y como $dv$ y por qué. Después, 1 punto por cada integración por partes. Con un logaritmo, tómalo siempre como $u$ . No olvides la constante de integración y, si te sobra un minuto, deriva el resultado.