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Problema resuelto de Matemáticas II: Derivadas y aplicacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Enunciado

Sea

f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C

. Las rectas tangentes a la gráfica de la función

f

en los puntos de abscisa

x = -1

x = 2

son paralelas. Además,

f

tiene un extremo relativo cuando

x = 1

f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}

.

a) Encuentra los valores de los parámetros

A

B

C

. (1,5 puntos)

b) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = -1

para los valores de los parámetros

A = -3

B = 0

C = 4

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = -\dfrac{3}{2}

B = 0

C = 2

, es decir,

f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2

.

b) Con

A = -3

B = 0

C = 4

: la tangente en

x = -1

y = 9x + 9

(pasa por

(-1, 0)

con pendiente 9).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada frase del enunciado es una ecuación para los parámetros:

Tangentes paralelas en $x = -1$ y $x = 2$ : tienen la misma pendiente, así que $f'(-1) = f'(2)$ .
Extremo relativo en $x = 1$ (la función es derivable): $f'(1) = 0$ .
Valor en el origen: $f(0) = C$ tiene que valer lo mismo que el límite, que es una indeterminación $\frac{0}{0}$ (L'Hôpital o el infinitésimo $e^{t} - 1 \sim t$ ).

En el apartado b) el enunciado da otros valores de los parámetros, así que es independiente del a): se calcula

f(-1)

f'(-1)

y se escribe

y - f(-1) = f'(-1)(x + 1)

Desarrollo

a) Derivada.

f'(x) = 3x^2 + 2Ax + B

Tangentes paralelas.

f'(-1) = 3 - 2A + B

f'(2) = 12 + 4A + B

. Igualando:

3 - 2A + B = 12 + 4A + B \;\Longrightarrow\; -6A = 9 \;\Longrightarrow\; A = -\frac{3}{2}

Extremo en $x = 1$ .

f'(1) = 3 + 2A + B = 3 - 3 + B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 0

Además

f''(x) = 6x + 2A = 6x - 3

f''(1) = 3 > 0

, así que en

x = 1

hay de verdad un extremo (un mínimo relativo).

El límite. Es de la forma

\frac{0}{0}

; por L'Hôpital:

\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2

Valor de $C$ . Como

f(0) = C

, resulta

C = 2

.

Comprobación. Con

f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2

f'(x) = 3x^2 - 3x

f'(-1) = 6 = f'(2)

✓ y

f'(1) = 0

✓.

b) Función con los valores dados.

f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

f'(x) = 3x^2 - 6x

.

Punto y pendiente.

f(-1) = -1 - 3 + 4 = 0, \qquad f'(-1) = 3 + 6 = 9

Recta tangente.

y - 0 = 9\,(x + 1) \;\Longrightarrow\; y = 9x + 9

Consejo

«Tangentes paralelas» se traduce en igual derivada, no en igual valor de la función. Los criterios dan 0,5 por cada parámetro, así que aunque te atasques con uno sigue con los otros. Y fíjate en el apartado b): el enunciado te da los parámetros para que no dependa del a), así que úsalos tal cual aunque no coincidan con los que te hayan salido.

Paso 1 de 3

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Derivadas y aplicaciones

Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera la función