Matemáticas IIMedio2,5 pts

Problema resuelto de Matemáticas II: Áreas, volúmenes y distanciasSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

También trata: Rectas y planos

Enunciado

Se consideran las siguientes rectas:

r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{-1}; \qquad s \equiv \begin{cases} x = \lambda,\\ y = -2 + 3\lambda,\\ z = -1 + \lambda. \end{cases}

a) Determina su posición relativa. (1 punto)

b) Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas. (1,5 puntos)

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Resultado

a) Los directores

(1, 2, -1)

(1, 3, 1)

no son proporcionales y

[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec v_r, \vec v_s] = -4 \neq 0

: las rectas se cruzan.

b) No se cortan; su distancia es

d(r, s) = \dfrac{4}{\sqrt{30}} = \dfrac{2\sqrt{30}}{15} \approx 0{,}73

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para la posición relativa de dos rectas basta con un punto y un vector director de cada una:

si los directores son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes;
si no lo son, se cortan o se cruzan, y lo decide el producto mixto $[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec v_r, \vec v_s]$ : si es 0, los tres vectores están en un plano y las rectas se cortan; si no, se cruzan.

Si se cruzan, la distancia entre ellas es la distancia de un punto de

s

al plano que contiene a

r

y es paralelo a

s

(o, directamente, el volumen del paralelepípedo entre el área de su base).

Desarrollo

a) Puntos y vectores directores.

P_r = (1, -1, 0),\quad \vec v_r = (1, 2, -1); \qquad P_s = (0, -2, -1),\quad \vec v_s = (1, 3, 1)

¿Son paralelas?

\dfrac{1}{1} \neq \dfrac{2}{3}

: los directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes. Se cortan o se cruzan.

Producto mixto. Con

\overrightarrow{P_rP_s} = (0 - 1, -2 + 1, -1 - 0) = (-1, -1, -1)

[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec v_r, \vec v_s] = \begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -1\,(2 + 3) + 1\,(1 + 1) - 1\,(3 - 2) = -5 + 2 - 1 = -4 \neq 0

Los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan.

b) Como no se cortan, hay que calcular la distancia.

Plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ . Su vector normal es perpendicular a los dos directores:

\vec n = \vec v_r \times \vec v_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \big(2\cdot 1 - (-1)\cdot 3,\; (-1)\cdot 1 - 1\cdot 1,\; 1\cdot 3 - 2\cdot 1\big) = (5, -2, 1)

Por

P_r = (1, -1, 0)

5(x - 1) - 2(y + 1) + z = 0

, es decir,

\pi: 5x - 2y + z - 7 = 0

Distancia de $P_s$ al plano. Como

s

es paralela a

\pi

, todos sus puntos están a la misma distancia:

d(r, s) = d(P_s, \pi) = \frac{|5\cdot 0 - 2\cdot(-2) + (-1) - 7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{30}} = \frac{4}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{30}}{15} \approx 0{,}730\ \text{u}

Comprobación con la fórmula del paralelepípedo.

d = \dfrac{|[\overrightarrow{P_rP_s}, \vec v_r, \vec v_s]|}{|\vec v_r \times \vec v_s|} = \dfrac{4}{\sqrt{30}}

✓ (el mismo

-4

del apartado a).

Consejo

Que dos rectas no sean paralelas no significa que se corten: en el espacio pueden cruzarse. Los criterios piden las dos cosas por separado (0,5 por ver que no son paralelas y 0,5 por concluir que se cruzan), y después el plano paralelo (0,75) y la distancia (0,75). El producto mixto del apartado a) te sirve otra vez en el b): divídelo entre el módulo del producto vectorial y tienes la distancia.

Paso 1 de 3

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Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera los puntos