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Problema resuelto de Matemáticas II: Sistemas de ecuacionesSelectividad (PAU) · País Vasco 2024 · Julio

Enunciado

a) Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro

\alpha

: (1 punto)

\begin{cases} \alpha x + 4y + z = 3,\\ \alpha x - 5y + 2z = -2,\\ 2x - y + 3z = 1. \end{cases}

Resuelve el sistema, si es posible,

b) cuando

\alpha = 0

, (0,75 puntos)

c) cuando

\alpha = 1

. (0,75 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

|M| = 26(1-\alpha)

. Si

\alpha \neq 1

: sistema compatible determinado. Si

\alpha = 1

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2

, compatible indeterminado.

b)

\alpha = 0

x = 0

y = \dfrac{8}{13}

z = \dfrac{7}{13}

.

c)

\alpha = 1

x = 8 - 13t

y = t

z = 9t - 5

, con

t \in \mathbb{R}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, así que el camino corto es el determinante de la matriz de coeficientes. Donde no se anula, el rango es 3 y, por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado. Solo hay que estudiar aparte los valores de

\alpha

que anulan el determinante: ahí comparamos el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada.

Después resolvemos los dos casos concretos: con

\alpha = 0

la solución es única (la sacamos por sustitución o Cramer) y con

\alpha = 1

, si el sistema resulta indeterminado, la daremos en función de un parámetro.

Desarrollo

a) Matrices del sistema.

M = \begin{pmatrix} \alpha & 4 & 1 \\ \alpha & -5 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}, \qquad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \alpha & 4 & 1 & 3 \\ \alpha & -5 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{array}\right)

Determinante de $M$ . Desarrollando por la primera columna:

|M| = \alpha\,(-15 + 2) - \alpha\,(12 + 1) + 2\,(8 + 5) = -13\alpha - 13\alpha + 26 = 26(1 - \alpha)

Se anula solo si

\alpha = 1

.

Caso $\alpha \neq 1$ .

|M| \neq 0

, así que

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\alpha = 1$ . El menor

\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -5 \end{vmatrix} = -9 \neq 0

, luego

\operatorname{rg} M = 2

. En la ampliada, la tercera fila es la suma de las dos primeras:

(1, 4, 1 \mid 3) + (1, -5, 2 \mid -2) = (2, -1, 3 \mid 1)

así que también

\operatorname{rg} M^* = 2

. Como

\operatorname{rg} M = \operatorname{rg} M^* = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

b) Caso $\alpha = 0$ . El sistema queda

\begin{cases} 4y + z = 3 \\ -5y + 2z = -2 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}

Despejamos $z$ en la primera.

z = 3 - 4y

y lo llevamos a la segunda:

-5y + 2(3 - 4y) = -2 \;\Longrightarrow\; -13y = -8 \;\Longrightarrow\; y = \frac{8}{13}, \qquad z = 3 - \frac{32}{13} = \frac{7}{13}

Tercera ecuación.

2x = 1 + y - 3z = 1 + \frac{8}{13} - \frac{21}{13} = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0

Comprobación.

-5\cdot\frac{8}{13} + 2\cdot\frac{7}{13} = \frac{-40 + 14}{13} = -2

✓.

c) Caso $\alpha = 1$ . Sobra la tercera ecuación (es la suma de las otras dos) y nos quedamos con

\begin{cases} x + 4y + z = 3 \\ x - 5y + 2z = -2 \end{cases}

Eliminamos $x$ . Restando la primera de la segunda:

-9y + z = -5

, es decir,

z = 9y - 5

.

Parámetro. Tomamos

y = t

; entonces

z = 9t - 5

y, de la primera ecuación,

x = 3 - 4t - (9t - 5) = 8 - 13t

Comprobación en la tercera ecuación original:

2(8 - 13t) - t + 3(9t - 5) = 16 - 26t - t + 27t - 15 = 1

✓.

Consejo

Los criterios dan 1 punto al determinante y la discusión, y 0,75 a cada resolución. En la discusión no basta con decir «si $\alpha = 1$ el determinante es 0»: hay que comparar los rangos de $M$ y $M^*$ para saber si es incompatible o indeterminado. Fijarse en que una fila es suma de otras ahorra cuentas. Y en el caso indeterminado, comprueba la solución paramétrica en la ecuación que has descartado.