Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

En la sección de idiomas de una biblioteca municipal se tienen libros, en francés o inglés, de tres categorías: el

50\,\%

son cuentos infantiles, el

30\,\%

, novelas históricas y el resto, manuales técnicos. Uno de cada cinco de los cuentos está en francés y una de cada tres de las novelas, en inglés. Por otra parte, uno de cada siete de los libros en francés es un manual técnico. Se toma un libro al azar y se pide:

a) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que esté en francés si no es un manual técnico.

b) (1,25 puntos) Calcular la probabilidad de que esté escrito en francés, y la probabilidad de que si está en inglés sea una novela histórica.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } P(F \mid \overline M) = \frac{3}{8} = 0{,}375\;}

\boxed{\;\text{b) } P(F) = \frac{7}{20} = 0{,}35, \qquad P(N \mid I) = \frac{2}{13} \approx 0{,}1538\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamo

C

N

M

a cuento, novela histórica y manual técnico (una partición, con probabilidades

0{,}5

0{,}3

0{,}2

), y

F

I

a francés e inglés. Del enunciado salen

P(F \mid C) = \frac15

P(I \mid N) = \frac13

.

El dato raro es el último: no da

P(F \mid M)

, sino al revés,

P(M \mid F) = \frac17

. Por eso conviene hacer a) sin los manuales: «no es manual» es

C \cup N

, y ahí todo se conoce. En b) el truco es que, si

\frac17

de los libros en francés son manuales, los otros

\frac67

son cuentos o novelas:

P(F \cap \overline M) = \frac67\,P(F)

, y

P(F \cap \overline M)

ya está calculada en a). Con

P(F)

, el último apartado es Bayes.

Desarrollo

Datos.

P(C) = 0{,}5

P(N) = 0{,}3

P(M) = 0{,}2

;

P(F \mid C) = \frac15

P(I \mid N) = \frac13

, luego

P(F \mid N) = \frac23

; y

P(M \mid F) = \frac17

.

a) No ser manual técnico es

\overline M = C \cup N

(incompatibles), con

P(\overline M) = 0{,}8

. Entonces

P(F \cap \overline M) = P(F \cap C) + P(F \cap N) = \frac15\cdot 0{,}5 + \frac23\cdot 0{,}3 = 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3,

P(F \mid \overline M) = \frac{P(F \cap \overline M)}{P(\overline M)} = \frac{0{,}3}{0{,}8} = \frac{3}{8} = 0{,}375.

b) Como

P(M \mid F) = \frac17

, los libros en francés que no son manuales son

\frac67

de los libros en francés:

P(F \cap \overline M) = P(\overline M \mid F)\cdot P(F) = \frac67\,P(F) \;\Longrightarrow\; 0{,}3 = \frac67\,P(F) \;\Longrightarrow\; P(F) = \frac{7}{20} = 0{,}35.

(Es la probabilidad total:

P(F) = P(F \cap C) + P(F \cap N) + P(F \cap M)

, con

P(F \cap M) = P(M \mid F)\,P(F) = \frac17 P(F)

.)

De aquí,

P(F \cap M) = \frac17\cdot\frac{7}{20} = \frac{1}{20}

, es decir,

P(F \mid M) = \frac{1/20}{0{,}2} = \frac14

, y

P(I) = 1 - P(F) = \frac{13}{20} = 0{,}65.

Por el teorema de Bayes:

P(N \mid I) = \frac{P(I \mid N)\,P(N)}{P(I)} = \frac{\frac13\cdot 0{,}3}{0{,}65} = \frac{0{,}1}{0{,}65} = \frac{2}{13} \approx 0{,}1538.

Comprobación con el árbol completo:

P(I) = \frac45\cdot 0{,}5 + \frac13\cdot 0{,}3 + \frac34\cdot 0{,}2 = 0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}15 = 0{,}65

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

(En la simulación,

P(F \mid M) = \frac14

es el valor deducido en b), no un dato del enunciado.)

Consejo

Distingue bien $P(M \mid F)$ («de los libros en francés, cuántos son manuales») de $P(F \mid M)$ («de los manuales, cuántos están en francés»): el enunciado da la primera, y meterla en el árbol como si fuera la segunda da resultados erróneos.

Define los sucesos con letras al principio y escribe cada dato con su notación: es la mitad del planteamiento, y en Bayes lo que más se puntúa es el planteamiento.