Rectas y planos

Ecuación general de $\pi$. Pasa por $Q(2, 2, 0)$ con directores $\vec u = (-1, 0, 1)$ y $\vec w = (0, 2, -2)$, o mejor $(0, 1, -1)$:$$\vec n = (-1, 0, 1) \times (0, 1, -1) = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (0 - 1,\ -(1 - 0),\ -1 - 0) = (-1, -1, -1).$$Tomo $\vec n_\pi = (1, 1, 1)$: $\pi \equiv x + y + z + d = 0$ con $2 + 2 + 0 + d = 0$, es decir,$$\pi \equiv x + y + z = 4.$$(Comprobación: $(2 - \alpha) + (2 + 2\beta) + (\alpha - 2\beta) = 4$ para todo $\alpha, \beta$ ✓.)

a) El plano de incidencia pasa por $A(1, 0, -1)$ y contiene los vectores $\overrightarrow{AB} = (2, 1, 1)$ y $\vec n_\pi = (1, 1, 1)$ (no paralelos). Su normal es$$\overrightarrow{AB} \times \vec n_\pi = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 1,\ -(2 - 1),\ 2 - 1) = (0, -1, 1).$$Plano: $-(y - 0) + (z + 1) = 0$, es decir,$$\sigma \equiv y - z - 1 = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (x, y, z) = (1 + 2\lambda + \mu,\ \lambda + \mu,\ -1 + \lambda + \mu).$$Comprobación: $A$: $0 + 1 - 1 = 0$ ✓; $B$: $1 - 0 - 1 = 0$ ✓; y $\sigma \perp \pi$ porque $(0, -1, 1)\cdot(1, 1, 1) = 0$ ✓.

b) El rayo es $(x, y, z) = A + t\,\overrightarrow{AB} = (1 + 2t,\ t,\ -1 + t)$, con $t \ge 0$. Al cortar con $\pi$:$$(1 + 2t) + t + (-1 + t) = 4 \;\Longrightarrow\; 4t = 4 \;\Longrightarrow\; t = 1.$$$t = 1 > 0$, así que el rayo (que va hacia $B$) sí llega al plano, y el punto de incidencia es $P = (3, 1, 0)$: el propio $B$, que ya estaba en $\pi$ ($3 + 1 + 0 = 4$). La distancia recorrida es$$d = |\overrightarrow{AP}| = |(2, 1, 1)| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2{,}449 \text{ u}.$$c) La distancia de $A$ a los puntos de $\pi$ es mínima en el pie de la perpendicular, a distancia$$d(A, \pi) = \frac{|1 + 0 - 1 - 4|}{\sqrt 3} = \frac{4}{\sqrt 3} \approx 2{,}309 < \sqrt 6.$$Para conseguirla, el rayo debe salir en la dirección del normal $\vec n_\pi = (1, 1, 1)$ (que apunta hacia $\pi$, porque en $A$ es $x + y + z = 0 < 4$). El emisor debe girar el ángulo $\theta$ entre $\overrightarrow{AB}$ y $\vec n_\pi$:$$\cos\theta = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\vec n_\pi}{|\overrightarrow{AB}|\,|\vec n_\pi|} = \frac{2 + 1 + 1}{\sqrt 6\,\sqrt 3} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{2\sqrt 2}{3} \;\Longrightarrow\; \theta = \arccos\frac{2\sqrt 2}{3} \approx 19{,}47^\circ.$$(Equivalentemente, $\sin\theta = \frac13$. Y cuadra con b): $\cos\theta = \frac{d(A, \pi)}{|AP|} = \frac{4/\sqrt 3}{\sqrt 6}$ ✓.)