Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Sea

f(x) = \dfrac{|x|}{x^2 + 1}

.

a) (1,5 puntos) Analice la monotonía y los extremos relativos de

f(x)

.

b) (1 punto) Halle el área de la región acotada delimitada por la recta

y = \frac{1}{2}

y la gráfica de

f(x)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Crece en } (-\infty, -1)\cup(0, 1);\ \text{decrece en } (-1, 0)\cup(1, +\infty);\ \text{máx. } \left(\pm 1, \tfrac12\right),\ \text{mín. } (0, 0)\;}

\boxed{\;\text{b) Área} = 1 - \ln 2 \approx 0{,}307\ \text{u}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El valor absoluto obliga a escribir

f

a trozos (

x \ge 0

x < 0

). Además

f(-x) = f(x)

: la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje

OY

, así que basta estudiar

x \ge 0

y reflejar.

En a) derivo en

x > 0

, estudio el signo de

f'

y traslado el resultado a

x < 0

por simetría (lo que crece a la derecha decrece a la izquierda). El punto

x = 0

hay que mirarlo aparte:

f

no es derivable ahí, pero puede ser un extremo.

En b) los máximos de a) valen justo

\frac12

: la recta

y = \frac12

toca la gráfica en

x = \pm 1

y queda siempre por encima. El recinto acotado está entre

-1

1

, y por la simetría el área es el doble de la de

[0, 1]

Desarrollo

Dominio y simetría.

x^2 + 1 > 0

siempre, así que

f

está definida y es continua en todo

\mathbb{R}

, y

f(-x) = \frac{|-x|}{x^2 + 1} = f(x)

: es par.

f(x) = \begin{cases} \dfrac{-x}{x^2 + 1} & \text{si } x < 0 \\[8pt] \dfrac{x}{x^2 + 1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}

a) Para

x > 0

f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2},

y para

x < 0

f'(x) = -\dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = \dfrac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2}

. El denominador es positivo, así que el signo lo da el numerador, que se anula en

x = \pm 1

	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
signo de $f'$	$+$	$-$	$+$	$-$
$f$	crece	decrece	crece	decrece

x = 0

no es derivable (

f'(0^-) = -1

f'(0^+) = 1

: un pico), pero

f

es continua y pasa de decrecer a crecer.

Creciente en $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ ; decreciente en $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$ .
Máximos relativos en $x = -1$ y $x = 1$ , con $f(\pm 1) = \frac{1}{2}$ : puntos $\left(-1, \frac12\right)$ y $\left(1, \frac12\right)$ .
Mínimo relativo en $x = 0$ , con $f(0) = 0$ : punto $(0, 0)$ (de hecho es mínimo absoluto, porque $f \ge 0$ ).

b) Por a), en

[0, +\infty)

el valor máximo de

f

f(1) = \frac12

, y por simetría

f(x) \le \frac12

para todo

x

, con igualdad solo en

x = \pm 1

. (Directamente:

\frac{x}{x^2+1} = \frac12 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff x = 1

.) La recta queda por encima de la gráfica y la toca en

x = \pm 1

; fuera de

[-1, 1]

la región no está acotada (la gráfica tiende a

0

y la recta sigue a altura

\frac12

). El recinto acotado es el comprendido entre

x = -1

x = 1

\text{Área} = \int_{-1}^{1}\left(\frac12 - \frac{|x|}{x^2 + 1}\right)dx = 2\int_0^1\left(\frac12 - \frac{x}{x^2 + 1}\right)dx,

por simetría. Como

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac12\ln(x^2 + 1) + C

(el numerador es la mitad de la derivada del denominador):

\text{Área} = 2\left[\frac{x}{2} - \frac12\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = 2\left(\frac12 - \frac12\ln 2\right) = 1 - \ln 2 \approx 0{,}307\ \text{u}^2.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con un valor absoluto, escribe la función a trozos antes de derivar, y no olvides el punto donde cambia la definición: aquí $x = 0$ no tiene derivada, pero es un mínimo relativo. Aprovechar que la función es par te ahorra la mitad de las cuentas.

En b) hay que justificar cuál es el recinto acotado: la recta toca la gráfica en los dos máximos y queda siempre por encima. Fíjate en que la integral es $\frac12 - f$ (la de arriba menos la de abajo).