Matemáticas IIMedio2,5 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Sean

X

Y

dos matrices reales y cuadradas de orden dos tales que

5X - 3Y = A

3X + 6Y = B

, con

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 39 & 2 \\ -15 & 13 \end{pmatrix}.

Se pide:

a) (1,5 puntos) Hallar

X

Y

X^{-1}

.

b) (1 punto) Calcular

A^{127}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix},\quad Y = \begin{pmatrix} 5 & \frac13 \\ -2 & \frac53 \end{pmatrix},\quad X^{-1} = \begin{pmatrix} \frac13 & 0 \\ \frac13 & 1 \end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b) } A^{127} = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) las dos ecuaciones forman un sistema lineal de matrices, que se resuelve igual que uno de números, por reducción: multiplicando la primera por

2

y sumando la segunda desaparece

Y

. Como solo se multiplica por números (no por matrices), no hay problemas de orden. Después,

X^{-1}

con la fórmula de la inversa

2\times 2

.

En b) un exponente tan alto pide buscar un ciclo en las potencias: calculo

A^2

y veo que es

-I

, así que

A^4 = I

y basta dividir

127

entre

4

Desarrollo

a) Multiplico la primera ecuación por

2

y le sumo la segunda:

10X - 6Y + 3X + 6Y = 2A + B \;\Longrightarrow\; 13X = 2A + B.

2A + B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 39 & 2 \\ -15 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 39 & 0 \\ -13 & 13 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; X = \frac{1}{13}\begin{pmatrix} 39 & 0 \\ -13 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.

De la primera ecuación,

3Y = 5X - A

5X - A = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ -5 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 1 \\ -6 & 5 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; Y = \begin{pmatrix} 5 & \frac{1}{3} \\[2pt] -2 & \frac{5}{3} \end{pmatrix}.

Comprobación en la segunda ecuación:

3X + 6Y = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 30 & 2 \\ -12 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 39 & 2 \\ -15 & 13 \end{pmatrix} = B

Se cumple ✓.

Inversa de $X$ .

|X| = 3\cdot 1 - 0\cdot(-1) = 3 \neq 0

, así que

X

es invertible. Para una

2\times 2

, se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los de la otra y se divide entre el determinante:

X^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 \\[2pt] \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}.

Comprobación:

X\,X^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac13 & 0 \\ \frac13 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac13 + \frac13 & 1 \end{pmatrix} = I

✓.

b) Calculo las primeras potencias:

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I, \qquad A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I.

Las potencias se repiten de cuatro en cuatro. Como

127 = 4\cdot 31 + 3

A^{127} = (A^4)^{31}\,A^3 = I \cdot A^2 A = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

(Lo mismo sale con

A^{127} = (A^2)^{63} A = (-I)^{63} A = -A

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un sistema de ecuaciones matriciales con coeficientes numéricos se resuelve como uno de números (reducción o sustitución). Comprueba $X$ e $Y$ en la ecuación que no has usado para despejar la última: así detectas cualquier error de cuentas.

Con potencias grandes, calcula $A^2$ , $A^3$ … hasta que aparezca la identidad (o $-I$ ), y escribe la división del exponente: $127 = 4\cdot 31 + 3$ .