Matemáticas IIMedio2,5 pts

Distribución normal

También trata: Probabilidad
Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)
Enunciado
Para conocer la opinión de los usuarios sobre su servicio, la empresa de transporte público de una ciudad ha realizado una encuesta. De esa encuesta se desprende que la nota global otorgada al servicio por sus usuarios se puede considerar una normal de media 6,76{,}7 y de desviación típica 1,251{,}25. Si un usuario da una nota menor que 55 se considera que ve como insatisfactorio el servicio; si la nota está entre 55 y 7,57{,}5, que para el usuario el servicio es satisfactorio; y si la nota es mayor que 7,57{,}5, que el servicio es excelente.

a) (0,75 puntos) Elegido un usuario al azar, ¿qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es excelente?

b) (1 punto) Elegido un usuario al azar, ¿qué probabilidad hay de que crea que el servicio de la empresa de transportes es satisfactorio?

c) (0,75 puntos) Para conocer de forma más directa la opinión de sus usuarios, de entre todos ellos la empresa convoca a 2525 elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de entre los convocados consideren el servicio insatisfactorio?
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Resultado
  a) P(X>7,5)=P(Z>0,64)=0,2611b) P(5≤X≤7,5)=0,6520  \boxed{\;\text{a) } P(X > 7{,}5) = P(Z > 0{,}64) = 0{,}2611 \qquad \text{b) } P(5 \le X \le 7{,}5) = 0{,}6520\;}  c) T∼B(25; 0,0869):  P(T≥2)=1−0,913125−25⋅0,0869⋅0,913124≈0,6518  \boxed{\;\text{c) } T \sim B(25;\ 0{,}0869):\ \ P(T \ge 2) = 1 - 0{,}9131^{25} - 25\cdot 0{,}0869\cdot 0{,}9131^{24} \approx 0{,}6518\;}
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Estrategia

La nota XX sigue una N(6,7; 1,25)N(6{,}7;\ 1{,}25). En a) y b) basta tipificar, Z=X−6,71,25Z = \frac{X - 6{,}7}{1{,}25}, y leer la tabla de la N(0,1)N(0, 1); los valores tipificados salen exactos con dos decimales (0,640{,}64 y −1,36-1{,}36).

En c) cambia el modelo: cada uno de los 2525 convocados es insatisfecho o no, con la misma probabilidad p=P(X<5)p = P(X < 5) e independientemente, así que el número de insatisfechos es una binomial B(25; p)B(25;\ p). «Al menos dos» se calcula mejor por el complementario: 1−P(T=0)−P(T=1)1 - P(T = 0) - P(T = 1).
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Desarrollo

Sea XX = «nota global que da un usuario», X∼N(6,7; 1,25)X \sim N(6{,}7;\ 1{,}25).

a) Excelente es X>7,5X > 7{,}5:P(X>7,5)=P(Z>7,5−6,71,25)=P(Z>0,64)=1−P(Z≤0,64)=1−0,7389=0,2611.P(X > 7{,}5) = P\left(Z > \frac{7{,}5 - 6{,}7}{1{,}25}\right) = P(Z > 0{,}64) = 1 - P(Z \le 0{,}64) = 1 - 0{,}7389 = 0{,}2611.b) Satisfactorio es 5≤X≤7,55 \le X \le 7{,}5. Tipificando, 5−6,71,25=−1,36\frac{5 - 6{,}7}{1{,}25} = -1{,}36:P(5≤X≤7,5)=P(−1,36≤Z≤0,64)=P(Z≤0,64)−P(Z<−1,36).P(5 \le X \le 7{,}5) = P(-1{,}36 \le Z \le 0{,}64) = P(Z \le 0{,}64) - P(Z < -1{,}36).Por la simetría de la normal, P(Z<−1,36)=1−P(Z≤1,36)=1−0,9131=0,0869P(Z < -1{,}36) = 1 - P(Z \le 1{,}36) = 1 - 0{,}9131 = 0{,}0869. EntoncesP(5≤X≤7,5)=0,7389−0,0869=0,6520.P(5 \le X \le 7{,}5) = 0{,}7389 - 0{,}0869 = 0{,}6520.(Las tres opiniones suman 11: insatisfactorio 0,08690{,}0869 + satisfactorio 0,65200{,}6520 + excelente 0,26110{,}2611 ✓.)
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
c) Un usuario considera el servicio insatisfactorio con probabilidad p=P(X<5)=P(Z<−1,36)=0,0869p = P(X < 5) = P(Z < -1{,}36) = 0{,}0869. Sea TT = «número de insatisfechos entre los 2525 convocados». Como se eligen al azar entre todos los usuarios (independientes, misma pp),T∼B(25; 0,0869).T \sim B(25;\ 0{,}0869).Por el complementario:P(T≥2)=1−P(T=0)−P(T=1)=1−0,913125−(251) 0,0869⋅0,913124.P(T \ge 2) = 1 - P(T = 0) - P(T = 1) = 1 - 0{,}9131^{25} - \binom{25}{1}\,0{,}0869\cdot 0{,}9131^{24}.Calculando, 0,913125≈0,10300{,}9131^{25} \approx 0{,}1030 y 25⋅0,0869⋅0,913124≈0,245125 \cdot 0{,}0869 \cdot 0{,}9131^{24} \approx 0{,}2451, así queP(T≥2)≈1−0,1030−0,2451=0,6518.P(T \ge 2) \approx 1 - 0{,}1030 - 0{,}2451 = 0{,}6518.
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Consejo

La tabla solo da P(Z≤z)P(Z \le z) con z≥0z \ge 0: para la cola derecha usa el complementario, y para un valor negativo, la simetría, P(Z<−a)=1−P(Z≤a)P(Z < -a) = 1 - P(Z \le a). Haz un dibujo de la campana con la zona que buscas antes de restar.

En c) reconoce el cambio de modelo: ya no se pregunta por una nota, sino por cuántos de los 25 están insatisfechos, que es una binomial. Para «al menos dos», el complementario son solo dos términos.
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