Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias
Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)
Enunciado
Dados el punto P(−1,2,6)P(-1, 2, 6), el plano π:3x−2y+z−5=0\pi : 3x - 2y + z - 5 = 0 y la recta s≡x+12=y−21=z−0−1s \equiv \dfrac{x + 1}{2} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z - 0}{-1}:

a) (1,5 puntos) Halle una ecuación de la recta que pasa por PP, es secante a ss y paralela al plano π\pi.

b) (1 punto) Halle el simétrico del punto PP respecto al plano π\pi.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  a) x+12=y−21=z−6−4(corta a s en Q(3,4,−2))  \boxed{\;\text{a) } \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{-4} \quad (\text{corta a } s \text{ en } Q(3, 4, -2))\;}  b) P′=(117, 27, 487)  \boxed{\;\text{b) } P' = \left(\frac{11}{7},\ \frac{2}{7},\ \frac{48}{7}\right)\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

En a) la recta buscada corta a ss en un punto QQ que aún no conozco. Escribo QQ como punto genérico de ss (con un parámetro λ\lambda); la recta tiene director PQ→\overrightarrow{PQ}, y ser paralela a π\pi significa que ese director es perpendicular al vector normal de π\pi: PQ→⋅n⃗π=0\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n_\pi = 0. Esa ecuación da λ\lambda, y con él QQ y la recta.

En b) el simétrico P′P' se obtiene con la proyección ortogonal MM de PP sobre π\pi: corto con π\pi la recta perpendicular a π\pi por PP, y como MM es el punto medio de PP′PP', P′=2M−PP' = 2M - P.
2

Desarrollo

Datos: n⃗π=(3,−2,1)\vec n_\pi = (3, -2, 1); la recta ss pasa por S(−1,2,0)S(-1, 2, 0) con director v⃗s=(2,1,−1)\vec v_s = (2, 1, -1):s≡(x,y,z)=(−1+2λ, 2+λ, −λ),λ∈R.s \equiv (x, y, z) = (-1 + 2\lambda,\ 2 + \lambda,\ -\lambda), \quad \lambda \in \mathbb{R}.a) Sea Q(−1+2λ, 2+λ, −λ)Q(-1 + 2\lambda,\ 2 + \lambda,\ -\lambda) el punto de corte con ss. EntoncesPQ→=(2λ, λ, −λ−6).\overrightarrow{PQ} = (2\lambda,\ \lambda,\ -\lambda - 6).Paralela a π\pi:PQ→⋅n⃗π=6λ−2λ−λ−6=3λ−6=0  ⟹  λ=2.\overrightarrow{PQ}\cdot\vec n_\pi = 6\lambda - 2\lambda - \lambda - 6 = 3\lambda - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 2.Así Q=(3,4,−2)Q = (3, 4, -2) y PQ→=(4,2,−8)=2 (2,1,−4)\overrightarrow{PQ} = (4, 2, -8) = 2\,(2, 1, -4). La recta pedida est≡(x,y,z)=(−1+2μ, 2+μ, 6−4μ),μ∈R⟺x+12=y−21=z−6−4.t \equiv (x, y, z) = (-1 + 2\mu,\ 2 + \mu,\ 6 - 4\mu), \quad \mu \in \mathbb{R} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 6}{-4}.Comprobaciones.
  • Paralela a π\pi: (2,1,−4)⋅(3,−2,1)=6−2−4=0(2, 1, -4)\cdot(3, -2, 1) = 6 - 2 - 4 = 0, y P∉πP \notin \pi (−3−4+6−5=−6≠0-3 - 4 + 6 - 5 = -6 \neq 0), así que tt no está contenida en π\pi ✓.
  • Secante a ss: corta a ss en QQ, y sus directores (2,1,−4)(2, 1, -4) y (2,1,−1)(2, 1, -1) no son proporcionales, así que no son paralelas ✓.
Otra forma: la recta está en el plano paralelo a π\pi por PP, 3x−2y+z+1=03x - 2y + z + 1 = 0; ese plano corta a ss en 3(−1+2λ)−2(2+λ)−λ+1=3λ−6=03(-1 + 2\lambda) - 2(2 + \lambda) - \lambda + 1 = 3\lambda - 6 = 0, el mismo QQ.

b) Recta perpendicular a π\pi por PP: (x,y,z)=(−1+3k, 2−2k, 6+k)(x, y, z) = (-1 + 3k,\ 2 - 2k,\ 6 + k). Su corte con π\pi:3(−1+3k)−2(2−2k)+(6+k)−5=14k−6=0  ⟹  k=37.3(-1 + 3k) - 2(2 - 2k) + (6 + k) - 5 = 14k - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; k = \frac{3}{7}.La proyección de PP sobre π\pi esM=(−1+97, 2−67, 6+37)=(27, 87, 457).M = \left(-1 + \frac{9}{7},\ 2 - \frac{6}{7},\ 6 + \frac{3}{7}\right) = \left(\frac{2}{7},\ \frac{8}{7},\ \frac{45}{7}\right).Como MM es el punto medio de PP y su simétrico P′P':P′=2M−P=(47+1, 167−2, 907−6)=(117, 27, 487).P' = 2M - P = \left(\frac{4}{7} + 1,\ \frac{16}{7} - 2,\ \frac{90}{7} - 6\right) = \left(\frac{11}{7},\ \frac{2}{7},\ \frac{48}{7}\right).Comprobación. PP′→=(187,−127,67)=67(3,−2,1)\overrightarrow{PP'} = \left(\frac{18}{7}, -\frac{12}{7}, \frac{6}{7}\right) = \frac{6}{7}(3, -2, 1), paralelo a n⃗π\vec n_\pi ✓. Y al sustituir en π\pi: PP da −6-6 y P′P' da 33−4+48−357=6\frac{33 - 4 + 48 - 35}{7} = 6, el mismo valor con el signo cambiado (misma distancia, lados opuestos) ✓.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

«Secante a ss» se traduce en «pasa por un punto QQ de ss»: escribir QQ con el parámetro de ss convierte el problema en una sola ecuación. Comprueba después que la recta no es paralela a ss ni está contenida en π\pi.

En b) el error típico es dar la proyección MM como respuesta: el simétrico está al otro lado, a la misma distancia, P′=2M−PP' = 2M - P.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera el plano π≡2x−y+2z−3=0\pi \equiv 2x - y + 2z - 3 = 0 y la recta r≡x−12=y1=z−2m−2r \equiv \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z - 2}{m - 2}…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Rectas y planos
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera la recta r≡{x=−2λy=−1+2λz=3+2λy el planoπ≡x−2y+z−3=0.r \equiv \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = -1 + 2\lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases} \qquad\text{y el plano}\qquad \pi \equiv x - 2y + z - 3 = 0.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioRectas y planos
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera los puntos P(4,−2,3)P(4,-2,3) y Q(6,2,1)Q(6,2,1). a) [1 punto] Halla la ecuación…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 1Rectas y planos
Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera los planos π1≡2x−y−z=7\pi_1 \equiv 2x - y - z = 7,   π2≡x−2y+z=3\;\pi_2 \equiv x - 2y + z = 3…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Geometría →