Matemáticas IIMedio2,5 pts

Límites y continuidad

También trata: Derivadas y aplicaciones

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Dada la función

f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}

, se pide:

a) (1,25 puntos) Hallar su dominio y estudiar las asíntotas de su gráfica.

b) (0,75 puntos) Calcular la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto

(2, 7/3)

.

c) (0,5 puntos) Encontrar, si es posible, algún punto

x_0

tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

f

en el punto

(x_0, f(x_0))

sea

1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{-1, 1\};\ \text{A.V. } x = -1;\ \text{A.O. } y = x;\ \text{sin A.H. (en } x = 1 \text{, discontinuidad evitable)}\;}

\boxed{\;\text{b) } y = \frac{8}{9}x + \frac{5}{9} \qquad \text{c) No existe: } f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \neq 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo que simplifica todo es factorizar:

x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

. Fuera de

x = 1

f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x + 1}.

En a) el dominio excluye las raíces del denominador original, $\pm 1$ . Pero solo $x = -1$ da asíntota vertical: en $x = 1$ el factor se cancela y el límite es finito (discontinuidad evitable). La división deja a la vista la asíntota oblicua $y = x$ .
En b) y c) derivo la forma simplificada: $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2}$ .

Desarrollo

a) Dominio. El denominador se anula en

x^2 - 1 = 0

, es decir,

x = \pm 1

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.

Asíntotas verticales. Para

x \neq 1

f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}

En $x = 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{3}{2}$ , finito. No hay asíntota vertical en $x = 1$ (es una discontinuidad evitable).
En $x = -1$ : el numerador tiende a $1 - 1 + 1 = 1$ y el denominador a $0$ :

\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty.

$x = -1$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. El numerador tiene un grado más que el denominador, así que

\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty

: no hay asíntotas horizontales.

Asíntota oblicua. Dividiendo,

x^2 + x + 1 = x(x + 1) + 1

, luego

f(x) = x + \frac{1}{x + 1}, \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\big(f(x) - x\big) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x + 1} = 0.

$y = x$ es asíntota oblicua en

+\infty

y en

-\infty

(con

m = \lim \frac{f(x)}{x} = 1

n = \lim (f(x) - x) = 0

).

b) Comprobación del punto:

f(2) = \dfrac{8 - 1}{4 - 1} = \dfrac{7}{3}

✓. La derivada es

f'(x) = 1 - \frac{1}{(x + 1)^2}, \qquad f'(2) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.

La recta tangente es

y - \frac{7}{3} = \frac{8}{9}(x - 2) \;\Longleftrightarrow\; y = \frac{8}{9}x + \frac{5}{9} \;\Longleftrightarrow\; 8x - 9y + 5 = 0.

c) Se busca

x_0 \in \operatorname{Dom}(f)

con

f'(x_0) = 1

1 - \frac{1}{(x_0 + 1)^2} = 1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{(x_0 + 1)^2} = 0,

que no tiene solución, porque una fracción de numerador

1

nunca vale

0

. No es posible: ninguna tangente tiene pendiente

1

. (Tiene sentido: la pendiente

1

es la de la asíntota oblicua, a la que la gráfica solo se acerca en el infinito; además

f'(x) < 1

en todo el dominio.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el denominador se anule no basta para tener asíntota vertical: hay que calcular el límite. Aquí $x = 1$ anula numerador y denominador, y el límite es $\frac32$ . Factorizar al principio te ahorra L'Hôpital y te deja la oblicua a la vista.

En c), «si es posible» invita a razonar: plantea $f'(x_0) = 1$ y justifica por qué la ecuación no tiene solución; la conclusión vale 0,25 puntos.