Matemáticas IIFácil2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Tras una gran cosecha de sandías en una comarca, la producción se mete en cajas cúbicas de

1

m de lado que se amontonan en una gran pila compacta en forma de ortoedro. Al doble del largo de este ortoedro le faltan

2

m para llegar a ser la suma del ancho y el alto. Pero el largo supera en

8

m al ancho menos el alto. El perímetro de la base es

54

m. ¿Cuántas cajas de sandías ha producido esta cosecha?

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Largo } 12 \text{ m},\ \text{ancho } 15 \text{ m},\ \text{alto } 11 \text{ m}:\quad 12 \cdot 15 \cdot 11 = 1980 \text{ cajas}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamo

x

y

z

al largo, el ancho y el alto de la pila (en metros) y traduzco cada frase a una ecuación lineal. La base del ortoedro es el rectángulo de largo por ancho, así que su perímetro es

2(x + y)

.

Saldrá un sistema

3\times 3

. Como las cajas son cubos de

1

m de lado y la pila es compacta, el número de cajas es el volumen

x\cdot y\cdot z

(en m³).

Desarrollo

Planteamiento.

«Al doble del largo le faltan 2 m para ser la suma del ancho y el alto»: $2x + 2 = y + z$ , es decir, $2x - y - z = -2$ .
«El largo supera en 8 m al ancho menos el alto»: $x = (y - z) + 8$ , es decir, $x - y + z = 8$ .
«El perímetro de la base es 54 m»: $2(x + y) = 54$ , es decir, $x + y = 27$ .

\left\{\begin{array}{l} 2x - y - z = -2 \\ x - y + z = 8 \\ x + y = 27 \end{array}\right.

El determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(0 - 1) + 1\,(0 - 1) - 1\,(1 + 1) = -2 - 1 - 2 = -5 \neq 0,

así que el sistema es compatible determinado.

Resolución. Sumando las dos primeras ecuaciones se elimina

z

3x - 2y = 6.

Con

y = 27 - x

3x - 54 + 2x = 6 \;\Longrightarrow\; 5x = 60 \;\Longrightarrow\; x = 12

, y entonces

y = 15

. De la segunda ecuación,

z = 8 - x + y = 8 - 12 + 15 = 11

.

Comprobación en el enunciado.

Doble del largo, $24$ m; ancho más alto, $15 + 11 = 26$ m: al $24$ le faltan $2$ m ✓.
Ancho menos alto, $15 - 11 = 4$ m, y $12 = 4 + 8$ ✓.
Perímetro de la base, $2(12 + 15) = 54$ m ✓.

Número de cajas. Cada caja ocupa

1

m³ y la pila es compacta:

V = 12 \cdot 15 \cdot 11 = 1980\ \text{m}^3 \;\Longrightarrow\; 1980 \text{ cajas}.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cada ecuación bien escrita vale 0,5 puntos. La frase más traicionera es la primera: «le faltan 2 m para llegar a ser» significa que el doble del largo es menor, $2x + 2 = y + z$ . Comprueba los valores en las frases, no solo en tu sistema.

Y no te quedes en las dimensiones: la pregunta es cuántas cajas hay, y la respuesta (el producto de las tres) también puntúa.