Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio

Enunciado

Tenemos dos dados no trucados de seis caras, uno azul y uno rojo. Las caras están numeradas del 1 al 6. En un determinado juego, lanzamos los dos dados. Para calcular la puntuación obtenida, se sigue el siguiente procedimiento: si el número obtenido en el dado azul es par, se le suma el doble del número obtenido en el dado rojo; si el número obtenido en el dado azul es impar, se le suma el número obtenido en el dado rojo. Se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de

10

. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación impar.

b) (1,5 puntos) Calcular la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul sabiendo que la puntuación final ha sido

8

. Calcular la probabilidad de haber obtenido un número impar en el dado rojo sabiendo que la puntuación final ha sido un número par.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P(S = 10) = \frac{1}{9}, \qquad P(S \text{ impar}) = \frac{1}{4}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(\text{azul par} \mid S = 8) = \frac{3}{5}, \qquad P(\text{rojo impar} \mid S \text{ par}) = \frac{2}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los dados no están trucados, así que los

6 \cdot 6 = 36

resultados

(a, r)

(azul, rojo) son equiprobables y basta con contar casos (regla de Laplace). Llamo

a

al número del dado azul y

r

al del rojo; la puntuación es

S = \left\{\begin{array}{ll} a + 2r & \text{si } a \text{ es par} \\ a + r & \text{si } a \text{ es impar} \end{array}\right.

Para no perder casos, escribo la tabla de puntuaciones de los 36 resultados. Las probabilidades condicionadas de b) son, también contando, «casos favorables dentro del suceso que ya sabemos que ha ocurrido».

Desarrollo

Tabla de puntuaciones (filas: dado azul

a

; columnas: dado rojo

r

$a \backslash r$	1	2	3	4	5	6
1 (impar: $a + r$ )	2	3	4	5	6	7
2 (par: $a + 2r$ )	4	6	8	10	12	14
3 (impar: $a + r$ )	4	5	6	7	8	9
4 (par: $a + 2r$ )	6	8	10	12	14	16
5 (impar: $a + r$ )	6	7	8	9	10	11
6 (par: $a + 2r$ )	8	10	12	14	16	18

a) Puntuación 10. Los resultados con

S = 10

son

(2, 4)

(4, 3)

(6, 2)

(azul par:

a + 2r = 10

) y

(5, 5)

(azul impar:

a + r = 10

). Son 4 de 36:

P(S = 10) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

a) Puntuación impar. Si

a

es par,

S = a + 2r

es suma de dos pares: siempre par. Si

a

es impar,

S = a + r

es impar justo cuando

r

es par. Por tanto

P(S \text{ impar}) = P(a \text{ impar})\cdot P(r \text{ par}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4}

(En la tabla: 9 casos impares de 36, todos en las filas 1, 3 y 5.)

b) Azul par sabiendo que $S = 8$ . Los resultados con

S = 8

son

con azul par: $(2, 3)$ , $(4, 2)$ , $(6, 1)$ , que son 3;
con azul impar: $(3, 5)$ , $(5, 3)$ , que son 2 ( $a = 1$ necesitaría $r = 7$ ).

En total 5 casos equiprobables, de los que 3 tienen el azul par:

P(a \text{ par} \mid S = 8) = \frac{P(a \text{ par} \cap S = 8)}{P(S = 8)} = \frac{3/36}{5/36} = \frac{3}{5}

b) Rojo impar sabiendo que $S$ es par. Por a),

P(S \text{ par}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

, es decir, 27 casos. Dentro de ellos, el rojo es impar en:

azul par (todos dan $S$ par) y rojo impar: $3 \cdot 3 = 9$ casos;
azul impar y rojo impar ( $S = a + r$ par): $3 \cdot 3 = 9$ casos.

P(r \text{ impar} \mid S \text{ par}) = \frac{18/36}{27/36} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}

Comprobación. Con un árbol que primero separa «azul par» y «azul impar» (probabilidad

\frac{1}{2}

cada una):

P(S \text{ par} \mid a \text{ par}) = 1

P(S \text{ par} \mid a \text{ impar}) = \frac{1}{2}

, luego

P(S \text{ par}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

✓, y los 4 casos de

S = 10

y los 5 de

S = 8

se leen directamente en la tabla ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con dos dados, haz la tabla de los 36 casos: es la forma más segura de no dejarte ninguno. El error típico en $S = 8$ es olvidar los casos con azul impar, $(3,5)$ y $(5,3)$ , o contar $(1,7)$ , que no existe.

En una probabilidad condicionada, el denominador es el suceso que «ya sabemos» (aquí $S = 8$ o $S$ par), no el total de 36: escribe siempre $P(A|B) = P(A \cap B)/P(B)$ .