Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Vectores y ángulos

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio

Enunciado

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices

P_1

P_2

P_3

P_4

de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que

P_1(1, 1, 1)

P_2(2, 1, 0)

P_3(1, 3, 2)

, pero del cuarto punto

P_4(3, a, 3)

hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada.

a) (1,5 puntos) A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es

V = 1

. También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es de

10

. Determine los posibles valores de

a

.

b) (1 punto) Dado el punto

Q(3, 3, 3)

, se quiere imprimir ahora el paralelepípedo que tiene a los segmentos

P_1P_2

P_1P_3

P_1Q

como aristas. ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo que habría que suministrar al ordenador?

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = 3 \quad (a = 15 \text{ da volumen 1, pero una arista de } \sqrt{204} > 10)\;}

\boxed{\;\text{b)}\ (1,1,1),\ (2,1,0),\ (1,3,2),\ (3,3,3),\ (2,3,1),\ (4,3,2),\ (3,5,4),\ (4,5,3)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de tres aristas que salen del mismo vértice:

V = \frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{P_1P_2},\ \overrightarrow{P_1P_3},\ \overrightarrow{P_1P_4}\right]\right|

Igualar a 1 da una ecuación con valor absoluto, y por tanto dos candidatos para

a

. La segunda condición (ninguna arista mide más de 10) sirve para descartar uno: hay que medir las aristas de cada candidato.

En b) los ocho vértices de un paralelepípedo se obtienen sumando a

P_1

todas las combinaciones de las tres aristas

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

P_1

P_1 + \vec{u}

, …,

P_1 + \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}

Desarrollo

a) Aristas desde

P_1

\overrightarrow{P_1P_2} = (1, 0, -1), \qquad \overrightarrow{P_1P_3} = (0, 2, 1), \qquad \overrightarrow{P_1P_4} = (2,\ a - 1,\ 2)

Producto mixto:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & a - 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\bigl(4 - (a - 1)\bigr) - 0 + (-1)(0 - 4) = 5 - a + 4 = 9 - a

Volumen:

V = \frac{|9 - a|}{6} = 1 \;\Longrightarrow\; |9 - a| = 6 \;\Longrightarrow\; 9 - a = 6 \ \text{ o } \ 9 - a = -6 \;\Longrightarrow\; a = 3 \ \text{ o } \ a = 15

Condición de las aristas. Las aristas

P_1P_2

P_1P_3

P_2P_3

no dependen de

a

|P_1P_2| = \sqrt{2}, \qquad |P_1P_3| = \sqrt{5}, \qquad |P_2P_3| = |(-1, 2, 2)| = 3

$a = 15$ : $P_4 = (3, 15, 3)$ y $\overrightarrow{P_1P_4} = (2, 14, 2)$ , de longitud $\sqrt{4 + 196 + 4} = \sqrt{204} \approx 14{,}28 > 10$ . Esa arista no cabe en la impresora: se descarta.
$a = 3$ : $P_4 = (3, 3, 3)$ y

|P_1P_4| = |(2, 2, 2)| = \sqrt{12} \approx 3{,}46, \quad |P_2P_4| = |(1, 2, 3)| = \sqrt{14} \approx 3{,}74, \quad |P_3P_4| = |(2, 0, 1)| = \sqrt{5}

Todas las aristas miden menos de 10: es válido.

Por tanto, el único valor posible es

a = 3

.

b) Las tres aristas que salen de

P_1

son

\vec{u} = \overrightarrow{P_1P_2} = (1, 0, -1), \qquad \vec{v} = \overrightarrow{P_1P_3} = (0, 2, 1), \qquad \vec{w} = \overrightarrow{P_1Q} = (2, 2, 2)

(Son linealmente independientes: su producto mixto es el de a) con

a = 3

, es decir,

6 \neq 0

, así que el paralelepípedo no es plano.)

Los ocho vértices son:

\begin{array}{ll} P_1 = (1, 1, 1) & P_1 + \vec{u} + \vec{v} = (2, 3, 1) \\ P_2 = P_1 + \vec{u} = (2, 1, 0) & P_1 + \vec{u} + \vec{w} = (4, 3, 2) \\ P_3 = P_1 + \vec{v} = (1, 3, 2) & P_1 + \vec{v} + \vec{w} = (3, 5, 4) \\ Q = P_1 + \vec{w} = (3, 3, 3) & P_1 + \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = (4, 5, 3) \end{array}

Comprobación.

\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = (3, 4, 2)

, y el vértice opuesto a

P_1

(1, 1, 1) + (3, 4, 2) = (4, 5, 3)

✓. Además, el centro del paralelepípedo es el punto medio de cualquier diagonal: el de

P_1

(4,5,3)

(2{,}5;\ 3;\ 2)

, igual que el de

Q(3,3,3)

(2,3,1)

✓. Su volumen es

|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = 6

, seis veces el del tetraedro de a), como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El valor absoluto del volumen da dos soluciones; quien se queda solo con la de $9 - a = 6$ pierde la mitad del apartado, y quien da las dos sin usar la condición de las aristas, también. La corrección puntúa explícitamente descartar $a = 15$ y comprobar que $a = 3$ sirve.

En b) no basta con $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ y $Q$ : faltan los cuatro vértices que se obtienen sumando dos o las tres aristas a $P_1$ .