Áreas, volúmenes y distancias

a) Vectores desde $A$:$$\overrightarrow{AB} = (1,\ -2,\ -2), \qquad \overrightarrow{AC} = (-3,\ -1,\ 1), \qquad \overrightarrow{AD} = (1,\ -4,\ -3)$$$$\bigl[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\bigr] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -3 & -1 & 1 \\ 1 & -4 & -3 \end{vmatrix} = 1(3 + 4) + 2(9 - 1) - 2(12 + 1) = 7 + 16 - 26 = -3$$Como el producto mixto es $-3 \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes y los cuatro puntos no son coplanarios. El volumen del tetraedro es$$V = \frac{1}{6}\,\bigl|-3\bigr| = \frac{1}{2} \ \text{u}^3$$b) Área de la cara $ABC$:$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ -3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 2)\,\vec{i} - (1 - 6)\,\vec{j} + (-1 - 6)\,\vec{k} = (-4,\ 5,\ -7)$$$$\bigl|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\bigr| = \sqrt{16 + 25 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}, \qquad S_{ABC} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \approx 4{,}74 \ \text{u}^2$$Altura desde $D$. Tomando $ABC$ como base, $V = \frac{1}{3}\,S_{ABC}\cdot h$:$$\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{2}\cdot h \;\Longrightarrow\; h = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0{,}316 \ \text{u}$$Comprobación como distancia al plano. El plano $ABC$ tiene normal $(-4, 5, -7)$, o $(4, -5, 7)$, y pasa por $A$: $4x - 5y + 7z - 13 = 0$ (con $B$: $8 + 5 + 0 - 13 = 0$; con $C$: $-8 + 0 + 21 - 13 = 0$). Entonces$$d(D, \pi_{ABC}) = \frac{|4\cdot 2 - 5\cdot(-3) + 7\cdot(-1) - 13|}{\sqrt{90}} = \frac{3}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$c) Elementos de las dos rectas:$$r:\ P(1,\ -1,\ 0),\ \vec{u} = (2,\ 1,\ -1) \qquad\qquad s = BD:\ B(2,\ -1,\ 0),\ \vec{v} = \overrightarrow{BD} = (0,\ -2,\ -1)$$Los directores no son proporcionales (la primera componente de $\vec{v}$ es $0$ y la de $\vec{u}$ no), así que las rectas no son paralelas. Con $\overrightarrow{PB} = (1,\ 0,\ 0)$:$$\bigl[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{PB}\bigr] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1 - 2) = -3 \neq 0$$(desarrollando por la tercera fila). Los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan. El producto vectorial de los directores es$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 2)\,\vec{i} - (-2 - 0)\,\vec{j} + (-4 - 0)\,\vec{k} = (-3,\ 2,\ -4), \qquad |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{29}$$$$d(r, s) = \frac{\bigl|[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{PB}]\bigr|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{3}{\sqrt{29}} = \frac{3\sqrt{29}}{29} \approx 0{,}557 \ \text{u}$$Comprobación. El plano que contiene a $r$ y es paralelo a $BD$ tiene normal $(-3, 2, -4)$ y pasa por $P$: $-3x + 2y - 4z + 5 = 0$. La distancia de $B(2, -1, 0)$ a él es $\frac{|-6 - 2 + 5|}{\sqrt{29}} = \frac{3}{\sqrt{29}}$, la misma.