Integrales

a) Por partes:$$u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = (x + 2)\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{x^2}{2} + 2x$$$$\int (x + 2)\ln x\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\ln x - \int \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\frac{1}{x}\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\ln x - \int \left(\frac{x}{2} + 2\right)dx$$$$= \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\ln x - \frac{x^2}{4} - 2x + K$$Aplicando la regla de Barrow (la función es continua en $[1, e]$):$$\int_1^e (x + 2)\ln x\,dx = \left[\left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\ln x - \frac{x^2}{4} - 2x\right]_1^e$$$$= \left(\frac{e^2}{2} + 2e - \frac{e^2}{4} - 2e\right) - \left(0 - \frac{1}{4} - 2\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{9}{4} = \frac{e^2 + 9}{4}$$Numéricamente, $\dfrac{e^2 + 9}{4} \approx 4{,}097$.

Comprobación. Derivando la primitiva: $(x + 2)\ln x + \left(\dfrac{x}{2} + 2\right) - \dfrac{x}{2} - 2 = (x + 2)\ln x$ ✓. Y el valor es positivo, como debe, porque el integrando es positivo en $(1, e]$.

b) Cuando $x \to \frac{\pi}{2}$: $\operatorname{tg}\frac{x}{2} \to \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ y $\cos x \to 0$, así que el exponente $\frac{1}{\cos x}$ tiende a $+\infty$ por la izquierda y a $-\infty$ por la derecha. Es una indeterminación del tipo $1^{\infty}$.

Llamo $L$ al límite y tomo logaritmos:$$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\ln\left(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right)}{\cos x} \qquad \left(\frac{0}{0}\right)$$Numerador y denominador son derivables cerca de $\frac{\pi}{2}$ y ambos tienden a 0, así que se puede aplicar L'Hôpital. La derivada del numerador es$$\frac{d}{dx}\ln\left(\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right) = \frac{\frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{tg}^2\frac{x}{2}\right)}{\operatorname{tg}\frac{x}{2}} = \frac{1}{2\operatorname{sen}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\operatorname{sen} x}$$y la del denominador, $-\operatorname{sen} x$. Por tanto$$\ln L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}{-\operatorname{sen} x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-1}{\operatorname{sen}^2 x} = \frac{-1}{1} = -1$$El resultado es el mismo por los dos lados, así que$$L = e^{-1} = \frac{1}{e}$$Comprobación numérica. Con $x = \frac{\pi}{2} \pm 0{,}0001$ la expresión vale $0{,}36788$ en los dos casos, y $\frac{1}{e} \approx 0{,}36788$ ✓.