Matrices

a) Existencia de $B^{-1}$. Sacando el factor $b$ de cada una de las tres filas:$$|B| = b^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = b^3\bigl[1(3 - 1) - 2(2 - 1) + 1(2 - 3)\bigr] = b^3(2 - 2 - 1) = -b^3$$Como $b \neq 0$, $|B| = -b^3 \neq 0$ y $B$ es invertible para todos los valores permitidos de $b$.

Equivalencia. Al ser $B$ invertible, multiplicando por $B$ a la derecha (y por $B^{-1}$ para volver):$$BCB^{-1} = A \iff BC = AB$$Productos. Multiplicar por la matriz diagonal $C$ a la derecha multiplica cada columna de $B$ por 2, 2 y 3:$$BC = \begin{pmatrix} 2b & 4b & 3b \\ 4b & 6b & 3b \\ 2b & 2b & 3b \end{pmatrix}$$$$AB = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3b - 2b + b & 6b - 3b + b & 3b - b + b \\ b + 2b + b & 2b + 3b + b & b + b + b \\ b - 2b + 3b & 2b - 3b + 3b & b - b + 3b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2b & 4b & 3b \\ 4b & 6b & 3b \\ 2b & 2b & 3b \end{pmatrix}$$Las dos matrices coinciden para cualquier $b$. Por tanto, la igualdad $BCB^{-1} = A$ se cumple para todos los valores $b \neq 0$ (para $b = 0$ no existe $B^{-1}$, y el enunciado ya lo excluye).

(Interpretación: las columnas de $B$ son vectores que $A$ multiplica por 2, 2 y 3; por eso el resultado no depende de $b$, que solo cambia su longitud.)

b) Por las propiedades $|MN| = |M|\,|N|$ y $|A^t| = |A|$:$$|AA^t| = |A|\,|A^t| = |A|^2$$$$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 3(3 + 1) + 1(3 - 1) + 1(-1 - 1) = 12 + 2 - 2 = 12$$Así, $|AA^t| = 12^2 = 144$.

(Comprobación: de a), $A = BCB^{-1}$, luego $|A| = |B|\,|C|\,|B|^{-1} = |C| = 2\cdot 2\cdot 3 = 12$ ✓.)

c) Para $b = 1$ el sistema es$$\left\{\begin{array}{l} x + 2y + z = 3 \\ 2x + 3y + z = -1 \\ x + y + z = 1 \end{array}\right.$$con $|B| = -1 \neq 0$: compatible determinado. Restando la tercera ecuación a la primera:$$y = 3 - 1 = 2$$Restando la tercera a la segunda:$$x + 2y = -2 \;\Longrightarrow\; x = -2 - 4 = -6$$Y de la tercera, $z = 1 - x - y = 1 + 6 - 2 = 5$.

Comprobación. $-6 + 4 + 5 = 3$ ✓; $-12 + 6 + 5 = -1$ ✓; $-6 + 2 + 5 = 1$ ✓.