Sabiendo que P(\overline{A}) = \dfrac{11}{20}, P(A|B) - P(B|A) = \dfrac{1}{24} y P(A \cap \overline{B}) = \dfrac{3}{10}, se pide: a) (1,5 puntos) Calcular P(A \cap B) y P(B). b) (1 punto) Calcular P(C), siendo C otro suceso del espacio muestral, independiente de A y que verifica que P(A \cup C) = \dfrac{14}{25}.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio

Enunciado

Sabiendo que

P(\overline{A}) = \dfrac{11}{20}

P(A|B) - P(B|A) = \dfrac{1}{24}

P(A \cap \overline{B}) = \dfrac{3}{10}

, se pide:

a) (1,5 puntos) Calcular

P(A \cap B)

P(B)

.

b) (1 punto) Calcular

P(C)

, siendo

C

otro suceso del espacio muestral, independiente de

A

y que verifica que

P(A \cup C) = \dfrac{14}{25}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P(A \cap B) = \frac{3}{20}, \qquad P(B) = \frac{2}{5}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad P(C) = \frac{1}{5}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale de tres herramientas: el complementario, la descomposición

A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})

(dos partes disjuntas) y la definición de probabilidad condicionada.

Con $P(A)$ y $P(A \cap \overline{B})$ sale $P(A \cap B)$ restando.
Las dos condicionadas tienen el mismo numerador, $P(A \cap B)$ , así que la condición sobre su diferencia es una ecuación con una sola incógnita, $P(B)$ .
En b), independencia significa $P(A \cap C) = P(A)\,P(C)$ ; con la fórmula de la unión queda una ecuación de primer grado en $P(C)$ .

Desarrollo

a) Del complementario:

P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{11}{20} = \frac{9}{20}

Como

A \cap B

A \cap \overline{B}

son disjuntos y su unión es

A

P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap \overline{B}) = \frac{9}{20} - \frac{6}{20} = \frac{3}{20}

Ahora, por la definición de probabilidad condicionada,

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3/20}{9/20} = \frac{1}{3}, \qquad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3}{20\,P(B)}

La condición del enunciado queda

\frac{3}{20\,P(B)} - \frac{1}{3} = \frac{1}{24} \;\Longrightarrow\; \frac{3}{20\,P(B)} = \frac{8}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{8} \;\Longrightarrow\; 20\,P(B) = 8 \;\Longrightarrow\; P(B) = \frac{2}{5}

Comprobación.

P(A|B) = \dfrac{3/20}{2/5} = \dfrac{3}{8}

\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9 - 8}{24} = \dfrac{1}{24}

✓. Además los valores son coherentes:

P(A \cup B) = \dfrac{9}{20} + \dfrac{8}{20} - \dfrac{3}{20} = \dfrac{7}{10} \leq 1

P(A \cap B) \leq P(B)

.

b) Por ser

C

independiente de

A

P(A \cap C) = P(A)\,P(C)

. Con la fórmula de la unión:

P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A)\,P(C) = \frac{9}{20} + P(C)\left(1 - \frac{9}{20}\right) = \frac{9}{20} + \frac{11}{20}\,P(C)

Igualando a

\dfrac{14}{25}

\frac{11}{20}\,P(C) = \frac{14}{25} - \frac{9}{20} = \frac{56}{100} - \frac{45}{100} = \frac{11}{100} \;\Longrightarrow\; P(C) = \frac{11}{100}\cdot\frac{20}{11} = \frac{1}{5}

Comprobación.

\dfrac{9}{20} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{9}{20}\cdot\dfrac{1}{5} = \dfrac{45}{100} + \dfrac{20}{100} - \dfrac{9}{100} = \dfrac{56}{100} = \dfrac{14}{25}

✓.

En la simulación, el árbol parte de

A

\overline{A}

con

P(B|A) = \tfrac{1}{3}

P(B|\overline{A}) = \dfrac{P(B) - P(A \cap B)}{P(\overline{A})} = \dfrac{1/4}{11/20} = \tfrac{5}{11}

(valores redondeados): la hoja

A|B

devuelve

P(A|B) = 0{,}375 = \tfrac{3}{8}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas «independientes» con «incompatibles»: independencia es $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ , mientras que incompatibles significa $P(A \cap C) = 0$ . Si en b) usas la segunda, sale $P(C) = 14/25 - 9/20 = 11/100$ , que es un error clásico.

En a), fíjate en que $P(A|B)$ y $P(B|A)$ comparten numerador: escribe las dos con la definición antes de operar y la ecuación sale sola.