Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

También trata: Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio

Enunciado

Dados los puntos

A(0, 0, 1)

B(1, 1, 0)

, se pide:

a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos

A

B

y es perpendicular al plano

z = 0

.

b) (1,5 puntos) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas,

r_1

r_2

, que pasen por los puntos

A

B

respectivamente, estén en el plano

x + z = 1

y tales que la distancia entre ellas sea

1

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad x - y = 0\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad r_1: (0,0,1) + t(1,0,-1), \quad r_2: (1,1,0) + t(1,0,-1)\;}

\boxed{\;\text{(o bien con dirección } (1,4,-1)\text{ por } A \text{ y por } B)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el plano buscado contiene dos direcciones conocidas: la del vector

\overrightarrow{AB}

(pasa por

A

B

) y la del vector normal de

z = 0

, que es

(0, 0, 1)

(si dos planos son perpendiculares, la normal de uno es paralela al otro). Con un punto y dos direcciones, la normal sale del producto vectorial.

En b) la incógnita es la dirección común

\vec{v}

de las dos rectas. Dos condiciones la fijan:

las rectas están en el plano $x + z = 1$ , así que $\vec{v}$ es perpendicular a su normal $(1, 0, 1)$ ;
la distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un punto de una a la otra: $d = \dfrac{|\overrightarrow{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = 1$ .

Antes conviene comprobar que

A

B

están en el plano

x + z = 1

; si no, el problema no tendría solución.

Desarrollo

a) Vectores directores del plano:

\overrightarrow{AB} = (1, 1, -1), \qquad \vec{k} = (0, 0, 1)\ \text{(normal de } z = 0\text{)}

No son proporcionales, así que determinan un plano. Su normal es

\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \vec{k} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 1 - 0)\,\vec{i} - (1\cdot 1 - 0)\,\vec{j} + (0 - 0)\,\vec{k} = (1, -1, 0)

Plano por

A(0, 0, 1)

con normal

(1, -1, 0)

1(x - 0) - 1(y - 0) + 0(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv x - y = 0

Comprobación.

A

0 - 0 = 0

✓;

B

1 - 1 = 0

✓. Perpendicular a

z = 0

(1, -1, 0)\cdot(0, 0, 1) = 0

✓.

b) Primero,

A

B

están en el plano

\sigma \equiv x + z = 1

0 + 1 = 1

✓ y

1 + 0 = 1

✓.

Dirección contenida en $\sigma$ . Sea

\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)

la dirección común de

r_1

r_2

. Como

r_1

pasa por

A \in \sigma

, estará contenida en

\sigma

si y solo si

\vec{v} \perp (1, 0, 1)

v_1 + v_3 = 0 \;\Longrightarrow\; \vec{v} = (p,\ q,\ -p)

(lo mismo vale para

r_2

, que pasa por

B \in \sigma

).

Distancia entre las rectas. Dos rectas paralelas distan lo que dista

B

r_1

d(r_1, r_2) = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}

Con

\overrightarrow{AB} = (1, 1, -1)

\overrightarrow{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ p & q & -p \end{vmatrix} = (-p + q)\,\vec{i} - (-p + p)\,\vec{j} + (q - p)\,\vec{k} = (q - p,\ 0,\ q - p)

|\overrightarrow{AB} \times \vec{v}| = \sqrt{2}\,|q - p|, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{2p^2 + q^2}

Imponiendo

d = 1

y elevando al cuadrado:

2(q - p)^2 = 2p^2 + q^2 \;\Longrightarrow\; 2q^2 - 4pq + 2p^2 = 2p^2 + q^2 \;\Longrightarrow\; q^2 - 4pq = 0 \;\Longrightarrow\; q\,(q - 4p) = 0

Hay dos familias de direcciones (cualquier múltiplo sirve, y

p \neq 0

, porque con

p = 0

saldría

q = 0

$q = 0$ : $\vec{v} = (1, 0, -1)$ .
$q = 4p$ : $\vec{v} = (1, 4, -1)$ .

Primera solución,

\vec{v} = (1, 0, -1)

r_1 \equiv \left\{\begin{array}{l} x = t \\ y = 0 \\ z = 1 - t \end{array}\right. \qquad r_2 \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 1 \\ z = -t \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}

Segunda solución,

\vec{v} = (1, 4, -1)

r_1 \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z - 1}{-1} \qquad r_2 \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z}{-1}

Basta con dar una de las dos parejas; las dos son válidas.

Comprobaciones.

Primera: $|\overrightarrow{AB} \times \vec{v}| = |(-1, 0, -1)| = \sqrt{2}$ y $|\vec{v}| = \sqrt{2}$ , luego $d = 1$ ✓. Un punto genérico de $r_1$ , $(t, 0, 1 - t)$ , cumple $t + 1 - t = 1$ ✓.
Segunda: $|\overrightarrow{AB} \times \vec{v}| = |(3, 0, 3)| = 3\sqrt{2}$ y $|\vec{v}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ , luego $d = 1$ ✓. $(1, 4, -1)\cdot(1, 0, 1) = 0$ ✓.
En ambos casos las rectas son distintas (paralelas, no coincidentes), porque $d = 1 \neq 0$ . Tiene sentido: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3} > 1$ , así que dentro del plano hay dos inclinaciones de la dirección que dejan a $A$ y $B$ a distancia 1 en perpendicular.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no confundas «perpendicular al plano $z = 0$ » con «normal $(0,0,1)$ »: el vector $(0,0,1)$ es una dirección del plano buscado, no su normal. Si lo usas como normal te sale $z = 1$ , que ni siquiera pasa por $B$ .

En b) la clave es dejar la dirección como incógnita: $(p, q, -p)$ para que esté en el plano, y luego imponer la distancia. Fórmula de la distancia entre paralelas: $|\overrightarrow{AB}\times\vec{v}|/|\vec{v}|$ .