Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio

Enunciado

Para la función

f(x) = x^4 + \pi x^3 + \pi^2 x^2 + \pi^3 x + \pi^4

, se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

f(x)

x = \pi

.

b) (1 punto) Probar que

f(x)

tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo

(-\pi, 0)

utilizando justificadamente el teorema de Rolle. Probar de nuevo la misma afirmación utilizando adecuadamente, esta vez, el teorema de Bolzano.

c) (1 punto) Si

g(x) = f(-x)

, calcular el área entre las gráficas de

f(x)

g(x)

en el intervalo

[0, \pi]

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad y = 10\pi^3 x - 5\pi^4\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad f(-\pi) = f(0) = \pi^4\ (\text{Rolle}); \quad f'(-\pi) = -2\pi^3 < 0 < \pi^3 = f'(0)\ (\text{Bolzano})\;}

\boxed{\;\text{c)}\quad \text{Área} = \frac{3\pi^5}{2} \approx 459{,}03\ \text{u}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí

\pi

es solo un número:

f

es un polinomio de grado 4 y todo se hace con las reglas de siempre. Conviene darse cuenta de que cada término de $f(\pi)$ y de $f'(\pi)$ es un múltiplo de la misma potencia de $\pi$ , lo que simplifica mucho las cuentas.

En a), tangente: $y = f(\pi) + f'(\pi)(x - \pi)$ .
En b) hay que usar dos teoremas distintos sobre funciones distintas: Rolle sobre $f$ (necesita $f(-\pi) = f(0)$ ) y Bolzano sobre $f'$ (necesita que $f'$ cambie de signo entre $-\pi$ y $0$ ). En los dos hay que comprobar las hipótesis.
En c), $g(x) = f(-x)$ cambia el signo de los términos de grado impar, así que $f - g$ es muy sencilla. Estudio su signo en $[0, \pi]$ y aplico Barrow.

Desarrollo

a) Valor de la función:

f(\pi) = \pi^4 + \pi^4 + \pi^4 + \pi^4 + \pi^4 = 5\pi^4

Derivada:

f'(x) = 4x^3 + 3\pi x^2 + 2\pi^2 x + \pi^3 \;\Longrightarrow\; f'(\pi) = 4\pi^3 + 3\pi^3 + 2\pi^3 + \pi^3 = 10\pi^3

Recta tangente:

y - 5\pi^4 = 10\pi^3 (x - \pi) \;\Longrightarrow\; y = 10\pi^3 x - 5\pi^4

b) Con el teorema de Rolle (sobre $f$ en $[-\pi, 0]$ ). Hipótesis:

$f$ es un polinomio, luego es continua en $[-\pi, 0]$ y derivable en $(-\pi, 0)$ .
Valores en los extremos:

f(-\pi) = \pi^4 - \pi^4 + \pi^4 - \pi^4 + \pi^4 = \pi^4, \qquad f(0) = \pi^4

así que

f(-\pi) = f(0)

.

Se cumplen las hipótesis de Rolle, y por tanto existe al menos un

c \in (-\pi, 0)

con

f'(c) = 0

.

b) Con el teorema de Bolzano (sobre $f'$ en $[-\pi, 0]$ ). Ahora la función a la que se aplica el teorema es

f'(x) = 4x^3 + 3\pi x^2 + 2\pi^2 x + \pi^3

$f'$ es un polinomio, luego es continua en $[-\pi, 0]$ .
Signos en los extremos:

f'(-\pi) = -4\pi^3 + 3\pi^3 - 2\pi^3 + \pi^3 = -2\pi^3 < 0, \qquad f'(0) = \pi^3 > 0

Como

f'

es continua y cambia de signo, por Bolzano existe al menos un

c \in (-\pi, 0)

con

f'(c) = 0

: es la misma afirmación, probada por otro camino.

c) Cambiando

x

por

-x

, los términos de grado impar cambian de signo:

g(x) = f(-x) = x^4 - \pi x^3 + \pi^2 x^2 - \pi^3 x + \pi^4

La diferencia es

f(x) - g(x) = 2\pi x^3 + 2\pi^3 x = 2\pi x\,(x^2 + \pi^2)

[0, \pi]

x \geq 0

x^2 + \pi^2 > 0

, así que

f(x) - g(x) \geq 0

: la gráfica de

f

va por encima de la de

g

y solo se tocan en

x = 0

(no hay que partir la integral). El área es

\text{Área} = \int_0^{\pi} \left(2\pi x^3 + 2\pi^3 x\right) dx = \left[\frac{\pi x^4}{2} + \pi^3 x^2\right]_0^{\pi} = \frac{\pi^5}{2} + \pi^5 = \frac{3\pi^5}{2}

En unidades cuadradas,

\dfrac{3\pi^5}{2} \approx 459{,}03

.

Comprobación. La integral numérica de

f - g

[0, \pi]

459{,}03

, que coincide. En b), observa además que

f(x) = \dfrac{x^5 - \pi^5}{x - \pi}

para

x \neq \pi

, lo que explica por qué

f(-\pi) = f(0) = \pi^4

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) el error típico es aplicar Bolzano a $f$ en lugar de a $f'$ : lo que se quiere es un cero de la derivada, así que Bolzano va sobre $f'$ , y Rolle sobre $f$ . En ambos casos escribe la continuidad (y la derivabilidad en Rolle) antes de concluir: la corrección puntúa la justificación.

En c), estudia el signo de $f - g$ antes de integrar: aquí no cambia en $[0, \pi]$ , pero si lo hiciera habría que partir la integral en el punto de corte.