Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2024 · Junio

Enunciado

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en 17 cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

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Resultado

\boxed{\;L = 107\ \text{cm}, \qquad I = 71\ \text{cm}, \qquad C = 19\ \text{cm}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de traducir frases a ecuaciones. Llamo

L

I

C

a las longitudes (en cm) del listón largo, el intermedio y el corto, y convierto cada una de las tres frases en una ecuación: «puestos uno tras otro» significa sumar longitudes.

Saldrá un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas. Como una de las ecuaciones da

L

despejada casi directamente, lo más rápido es sustituir y quedarse con un sistema

2\times 2

; al final compruebo los tres resultados en las frases del enunciado (no en las ecuaciones, por si alguna estuviera mal planteada).

Desarrollo

Incógnitas.

L

= longitud del listón largo,

I

= la del intermedio y

C

= la del corto, todas en centímetros.

Planteamiento.

«Dos largos y cuatro intermedios miden lo mismo que tres intermedios y quince cortos»:

2L + 4I = 3I + 15C \;\Longrightarrow\; 2L + I - 15C = 0

«Un largo supera en 17 cm a uno intermedio más uno corto»:

L = I + C + 17 \;\Longrightarrow\; L - I - C = 17

«A nueve cortos hay que añadir 7 cm para igualar un intermedio seguido de un largo»:

9C + 7 = I + L \;\Longrightarrow\; L + I - 9C = 7

El sistema es

\left\{\begin{array}{l} 2L + I - 15C = 0 \\ L - I - C = 17 \\ L + I - 9C = 7 \end{array}\right.

Su matriz de coeficientes tiene determinante

\begin{vmatrix} 2 & 1 & -15 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -9 \end{vmatrix} = 2(9+1) - 1(-9+1) - 15(1+1) = 20 + 8 - 30 = -2 \neq 0,

así que el sistema es compatible determinado: hay una única solución.

Resolución. De la segunda ecuación,

L = I + C + 17

. Sustituyendo en las otras dos:

2(I + C + 17) + I - 15C = 0 \;\Longrightarrow\; 3I - 13C = -34

(I + C + 17) + I - 9C = 7 \;\Longrightarrow\; 2I - 8C = -10 \;\Longrightarrow\; I = 4C - 5

Llevando

I = 4C - 5

a la primera:

3(4C - 5) - 13C = -34 \;\Longrightarrow\; 12C - 15 - 13C = -34 \;\Longrightarrow\; -C = -19 \;\Longrightarrow\; C = 19

Entonces

I = 4\cdot 19 - 5 = 71

L = 71 + 19 + 17 = 107

.

Comprobación en el enunciado.

Dos largos y cuatro intermedios: $2\cdot 107 + 4\cdot 71 = 214 + 284 = 498$ cm. Tres intermedios y quince cortos: $3\cdot 71 + 15\cdot 19 = 213 + 285 = 498$ cm ✓.
Intermedio más corto: $71 + 19 = 90$ , y $90 + 17 = 107 = L$ ✓.
Nueve cortos más 7 cm: $9\cdot 19 + 7 = 178$ ; intermedio seguido de largo: $71 + 107 = 178$ ✓.

Además, las tres longitudes son distintas y positivas, como exige el enunciado.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La mitad de la nota (0,5 puntos por ecuación) está en el planteamiento: define las incógnitas con sus unidades y escribe cada frase como una igualdad antes de pasarla a la forma ordenada.

La frase que más se tuerce es la tercera: «a nueve cortos hay que añadir 7 cm» significa que los nueve cortos son más cortos, es decir, $9C + 7 = I + L$ , no $9C = I + L + 7$ . Comprueba siempre la solución en el texto del enunciado, no solo en tu sistema.