Matemáticas IIMedio2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Entre los procesadores que utiliza cierta marca de ordenadores portátiles para un modelo, un

30\,\%

son de una nueva tecnología que promete una mayor efectividad. Se utilizan todos los procesadores, se empaquetan los ordenadores fabricados en palés de

10

portátiles y se envían

20

palés a cada una de sus tiendas. Se pide:

a) (1,5 puntos) Determinar la distribución, la media y la desviación típica de la variable «número de portátiles con los procesadores de la nueva tecnología en un palé». Calcular la probabilidad de que en un palé haya exactamente dos portátiles con la nueva tecnología.

b) (1 punto) Calcular, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos el

75\,\%

de los portátiles recibidos en una tienda no lleven los procesadores de la nueva tecnología.

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Resultado

\boxed{\;\text{a) } X \sim B(10;\ 0{,}3),\ \ \mu = 3,\ \ \sigma = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}449;\ \ P(X = 2) \approx 0{,}2335\;}

\boxed{\;\text{b) } Y \sim B(200;\ 0{,}7) \approx N(140;\ \sqrt{42}):\ \ P(Y \ge 150) \approx P(Z \ge 1{,}47) = 0{,}0708\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada portátil lleva o no lleva la nueva tecnología (probabilidad

0{,}3

), independientemente de los demás: contar cuántos la llevan entre

n

portátiles es una binomial

B(n;\ p)

En a) el palé tiene $n = 10$ portátiles: $X \sim B(10;\ 0{,}3)$ , con $\mu = np$ y $\sigma = \sqrt{npq}$ , y $P(X = 2)$ sale de la fórmula de la binomial.
En b) una tienda recibe $20 \cdot 10 = 200$ portátiles, y ahora se cuentan los que no llevan la nueva tecnología: $Y \sim B(200;\ 0{,}7)$ . El $75\,\%$ de 200 es 150, así que se pide $P(Y \ge 150)$ . Con $n$ tan grande se aproxima por una normal con la misma media y desviación típica y corrección por continuidad.

Desarrollo

a) Sea

X

= «número de portátiles con la nueva tecnología en un palé». Hay

10

portátiles independientes y cada uno la lleva con probabilidad

p = 0{,}3

(

q = 0{,}7

), así que

X \sim B(10;\ 0{,}3), \qquad \mu = np = 10 \cdot 0{,}3 = 3, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} = \sqrt{2{,}1} \approx 1{,}449.

P(X = 2) = \binom{10}{2}\, 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^8 = 45 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}05764801 = 0{,}2334744\ldots \approx 0{,}2335.

b) En cada tienda se reciben

20 \cdot 10 = 200

portátiles. Sea

Y

= «número de portátiles recibidos en una tienda sin la nueva tecnología»:

Y \sim B(200;\ 0{,}7), \qquad \mu = 200 \cdot 0{,}7 = 140, \qquad \sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3} = \sqrt{42} \approx 6{,}481.

75\,\%

200

150

: se pide

P(Y \ge 150)

. Como

np = 140 \ge 5

nq = 60 \ge 5

, aproximo por

Y' \sim N(140;\ 6{,}481)

. Con la corrección por continuidad (el valor entero 150 ocupa

[149{,}5;\ 150{,}5]

P(Y \ge 150) \approx P(Y' \ge 149{,}5) = P\left(Z \ge \frac{149{,}5 - 140}{6{,}481}\right) = P(Z \ge 1{,}47) = 1 - 0{,}9292 = 0{,}0708.

(El cociente es

1{,}4659\ldots

, que redondeo a

1{,}47

para entrar en la tabla.)

Es decir, en torno al

7\,\%

de las tiendas recibirían al menos un

75\,\%

de portátiles sin la nueva tecnología. (El valor exacto de la binomial es

0{,}0695

: la aproximación es buena.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee bien qué se cuenta en cada apartado: en a) los que llevan la nueva tecnología ( $p = 0{,}3$ ) y en b) los que no la llevan ( $p = 0{,}7$ ), y en b) el tamaño es el de la tienda, $200$ portátiles, no el del palé.

La corrección por continuidad se puntúa: calcular $P(Y' \ge 150)$ en vez de $P(Y' \ge 149{,}5)$ resta 0,25 puntos. Escribe también por qué se puede aproximar ( $np$ y $nq$ mayores que 5).