Rectas y planos

Director y puntos de $r$.$$\vec v_r = (1, 2, 1) \times (1, 1, 2) = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4 - 1,\ -(2 - 1),\ 1 - 2) = (3, -1, -1).$$Con $z = 0$: $x + 2y = 2$, $x + y = 2$, luego $y = 0$, $x = 2$: $R_1(2, 0, 0) \in r$. Y $R_2 = R_1 - \vec v_r = (-1, 1, 1)$ también está en $r$ (cumple $-1 + 2 + 1 = 2$ y $-1 + 1 + 2 = 2$ ✓).

a) El vector normal al plano $z = 0$ es $\vec k = (0, 0, 1)$. Entonces$$\cos\alpha = \frac{|\vec v_r \cdot \vec k|}{|\vec v_r|\,|\vec k|} = \frac{|-1|}{\sqrt{9 + 1 + 1}\cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{11}} \;\Longrightarrow\; \alpha = \arccos\frac{1}{\sqrt{11}} \approx 72{,}45^\circ.$$(En consecuencia, la recta forma con el propio plano $z = 0$ el ángulo complementario, $\approx 17{,}55^\circ$.)

b) Plano $\pi_1$. Del haz $(x + 2y + z - 2) + \mu\,(x + y + 2z - 2) = 0$, impongo que pase por $P(1, 2, 3)$:$$(1 + 4 + 3 - 2) + \mu\,(1 + 2 + 6 - 2) = 6 + 7\mu = 0 \;\Longrightarrow\; \mu = -\frac{6}{7}.$$Multiplicando por 7:$$7(x + 2y + z - 2) - 6(x + y + 2z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_1 \equiv x + 8y - 5z - 2 = 0.$$Comprobación: $P$: $1 + 16 - 15 - 2 = 0$ ✓; $R_1$: $2 - 2 = 0$ ✓; $R_2$: $-1 + 8 - 5 - 2 = 0$ ✓.

Plano $\pi_2$. Escribo el haz completo como $\alpha\,(x + 2y + z - 2) + \beta\,(x + y + 2z - 2) = 0$. Si $\pi_2$ no corta al eje $OZ$, es paralelo a él (y no lo contiene), así que su normal es perpendicular a $(0, 0, 1)$: el coeficiente de $z$ debe ser nulo,$$\alpha + 2\beta = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 2,\ \beta = -1:$$$$2(x + 2y + z - 2) - (x + y + 2z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi_2 \equiv x + 3y - 2 = 0.$$No contiene al eje $OZ$: sus puntos $(0, 0, t)$ darían $-2 = 0$, imposible. Así que $\pi_2$ es paralelo al eje sin cortarlo ✓. Contiene a $r$: $R_1$: $2 - 2 = 0$ ✓; $R_2$: $-1 + 3 - 2 = 0$ ✓.

En paramétricas, $\pi_1 \equiv (x, y, z) = R_1 + \lambda\,\vec v_r + \mu\,\overrightarrow{R_1 P}$ y $\pi_2 \equiv (x, y, z) = R_1 + \lambda\,\vec v_r + \mu\,(0, 0, 1)$, con $\overrightarrow{R_1 P} = (-1, 2, 3)$.

c) La recta $s$ pasa por $S(-2, 1, 1)$ con director $\vec v_s = (1, -2, 3)$. Los directores $(3, -1, -1)$ y $(1, -2, 3)$ no son proporcionales: $r$ y $s$ no son paralelas ni coincidentes. Con $\overrightarrow{R_1 S} = (-4, 1, 1)$:$$\big[\vec v_r, \vec v_s, \overrightarrow{R_1 S}\big] = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3(-2 - 3) + 1\,(1 + 12) - 1\,(1 - 8) = -15 + 13 + 7 = 5 \neq 0.$$Los tres vectores no son coplanarios: las rectas se cruzan.