a) (0,5 puntos) Escriba un ejemplo de una función polinómica de grado 3 cuya gráfica corte al eje de las abscisas en x = 0, x = 1 y x = 2. Escriba también un ejemplo de una función polinómica de grado 3 cuya gráfica corte al eje de las abscisas solo en los puntos x = 1 y x = 0. b) (1 punto) Escriba un ejemplo de una función polinómica de grado 3 que tenga un máximo relativo en el punto (0, 0) y un mínimo relativo en el punto (1, -1). c) (1 punto) Justifique si la gráfica de una función polinómica de grado 3 puede no cortar al eje de las abscisas.

Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

a) (0,5 puntos) Escriba un ejemplo de una función polinómica de grado 3 cuya gráfica corte al eje de las abscisas en

x = 0

x = 1

x = 2

. Escriba también un ejemplo de una función polinómica de grado 3 cuya gráfica corte al eje de las abscisas solo en los puntos

x = 1

x = 0

.

b) (1 punto) Escriba un ejemplo de una función polinómica de grado 3 que tenga un máximo relativo en el punto

(0, 0)

y un mínimo relativo en el punto

(1, -1)

.

c) (1 punto) Justifique si la gráfica de una función polinómica de grado 3 puede no cortar al eje de las abscisas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } x(x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x; \qquad x(x - 1)^2 = x^3 - 2x^2 + x\;}

\boxed{\;\text{b) } p(x) = 2x^3 - 3x^2 \qquad \text{c) No: por Bolzano, siempre corta al eje } OX\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se piensa en factores: si un polinomio se anula en

x = a

, tiene el factor

(x - a)

. Con tres raíces distintas, el producto de los tres factores ya es de grado 3. Con solo dos raíces y grado 3, una de ellas tiene que ser doble.

En b) traduzco las condiciones a la derivada: en los extremos relativos

p'(0) = p'(1) = 0

, así que

p'(x) = a\,x(x - 1)

. Integro, y la constante de integración y el valor de

a

salen de que la gráfica pase por

(0, 0)

(1, -1)

. Después compruebo cuál es máximo y cuál mínimo.

En c) la respuesta es que no: un polinomio de grado impar va a

+\infty

por un lado y a

-\infty

por el otro, y por el teorema de Bolzano tiene que cortar al eje.

Desarrollo

a) Con raíces

0

1

2

p(x) = x(x - 1)(x - 2) = x^3 - 3x^2 + 2x.

Con raíces solo en

0

1

, una de las dos ha de ser doble, por ejemplo

q(x) = x(x - 1)^2 = x^3 - 2x^2 + x \qquad \text{o} \qquad q(x) = x^2(x - 1) = x^3 - x^2.

Ninguno de los dos se anula fuera de

0

1

porque no tiene más factores. (Cualquier múltiplo

k\,p(x)

k\,q(x)

con

k \neq 0

también vale.)

b) Busco

p(x)

de grado 3. Si tiene extremos relativos en

x = 0

x = 1

, su derivada (de grado 2) se anula en esos puntos:

p'(x) = a\,x(x - 1) = a\,(x^2 - x), \qquad a \neq 0.

Integrando:

p(x) = a\left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right) + C.

Pasa por $(0, 0)$ : $p(0) = C = 0$ .
Pasa por $(1, -1)$ : $p(1) = a\left(\frac13 - \frac12\right) = -\frac{a}{6} = -1 \;\Longrightarrow\; a = 6$ .

Por tanto

p(x) = 6\left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right) = 2x^3 - 3x^2.

Comprobación.

p'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)

p''(x) = 12x - 6

$p''(0) = -6 < 0$ : máximo relativo en $x = 0$ , con $p(0) = 0$ ✓.
$p''(1) = 6 > 0$ : mínimo relativo en $x = 1$ , con $p(1) = 2 - 3 = -1$ ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

c) No puede. Sea

p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d

con

a \neq 0

. Como manda el término de mayor grado,

\lim_{x \to +\infty} p(x) = \pm\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} p(x) = \mp\infty

(con signos opuestos, porque

x^3

cambia de signo con

x

). Por tanto existen números

A < B

con

p(A)

p(B)

de signo contrario, es decir,

p(A)\cdot p(B) < 0

. Como

p

es continua en

[A, B]

(es un polinomio), el teorema de Bolzano asegura que existe

c \in (A, B)

con

p(c) = 0

: la gráfica corta al eje de abscisas al menos una vez.

Consejo

En b) no basta con que la derivada se anule en $0$ y en $1$ : también hay que imponer que la gráfica pase por $(0, 0)$ y $(1, -1)$ , que es lo que fija $a$ y $C$ . Y termina comprobando con $p''$ cuál es el máximo y cuál el mínimo; si te sale al revés, el signo de $a$ está mal.

En c) se pide justificar: cita el teorema de Bolzano y sus hipótesis (continuidad y cambio de signo), y explica de dónde sale el cambio de signo (los límites en $\pm\infty$ ).