Matemáticas IIMedio2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Halle un número natural de tres cifras del que se conoce que: sus cifras suman 13; si al número dado se le resta el doble del número que resulta de intercambiar las cifras de las centenas y de las unidades, el resultado es 437; además, la cifra de las decenas excede en una unidad a la media aritmética de las otras dos cifras.
Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido
Resultado
  El nuˊmero es 751(x=7, y=5, z=1)  \boxed{\;\text{El número es } 751 \quad (x = 7,\ y = 5,\ z = 1)\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
1

Estrategia

Llamo xx, yy, zz a las cifras de las centenas, las decenas y las unidades. El número vale 100x+10y+z100x + 10y + z (no xyzxyz, que sería un producto), y el que resulta de intercambiar centenas y unidades vale 100z+10y+x100z + 10y + x. Cada frase del enunciado es una ecuación lineal: saldrá un sistema 3×33\times 3.

La primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes en xx y en zz, así que restándolas sale yy directamente; después queda un sistema 2×22\times 2. Al final hay que comprobar que las soluciones son cifras (enteros entre 0 y 9, con x≠0x \neq 0).
2

Desarrollo

Planteamiento.
  • «Sus cifras suman 13»: x+y+z=13x + y + z = 13.
  • «Al número se le resta el doble del que resulta de intercambiar centenas y unidades, y da 437»:
(100x+10y+z)−2(100z+10y+x)=437  ⟹  98x−10y−199z=437.(100x + 10y + z) - 2(100z + 10y + x) = 437 \;\Longrightarrow\; 98x - 10y - 199z = 437.
  • «La cifra de las decenas excede en una unidad a la media de las otras dos»:
y=x+z2+1  ⟹  2y=x+z+2  ⟹  x−2y+z=−2.y = \frac{x + z}{2} + 1 \;\Longrightarrow\; 2y = x + z + 2 \;\Longrightarrow\; x - 2y + z = -2.El sistema es{x+y+z=1398x−10y−199z=437x−2y+z=−2\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 13 \\ 98x - 10y - 199z = 437 \\ x - 2y + z = -2 \end{array}\right.Su determinante es ∣11198−10−1991−21∣=1(−10−398)−1(98+199)+1(−196+10)=−408−297−186=−891≠0\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 98 & -10 & -199 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1(-10 - 398) - 1(98 + 199) + 1(-196 + 10) = -408 - 297 - 186 = -891 \neq 0: el sistema es compatible determinado.

Resolución. Restando la tercera ecuación a la primera:3y=15  ⟹  y=5,y entoncesx+z=8.3y = 15 \;\Longrightarrow\; y = 5, \qquad \text{y entonces} \quad x + z = 8.Llevando y=5y = 5 y x=8−zx = 8 - z a la segunda:98(8−z)−50−199z=437  ⟹  784−297z−50=437  ⟹  297z=297  ⟹  z=1,98(8 - z) - 50 - 199z = 437 \;\Longrightarrow\; 784 - 297z - 50 = 437 \;\Longrightarrow\; 297z = 297 \;\Longrightarrow\; z = 1,y x=8−1=7x = 8 - 1 = 7. Las tres son cifras válidas y x≠0x \neq 0: el número es 751.

Comprobación en el enunciado.
  • 7+5+1=137 + 5 + 1 = 13 ✓
  • Intercambiando centenas y unidades sale 157157, y 751−2⋅157=751−314=437751 - 2\cdot 157 = 751 - 314 = 437 ✓
  • La media de 77 y 11 es 44, y 5=4+15 = 4 + 1 ✓
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
3

Consejo

El planteamiento vale 1,5 puntos (0,5 por ecuación) y casi todos los errores están en la segunda: el número es 100x+10y+z100x + 10y + z, y el intercambiado, 100z+10y+x100z + 10y + x. Escríbelos antes de restar y opera el paréntesis con cuidado.

Comprueba siempre el número en las frases del enunciado (no solo en tu sistema): si alguna ecuación estuviera mal planteada, la comprobación en el sistema no lo detectaría.
Paso 1 de 3
¿Has terminado el problema?
¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.
Sigue practicando
Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Considera las matrices A=(121031−200),X=(xyz)yB=(331).A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 3Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 4.1 (bloque con optatividad 2). Considera el sistema de ecuaciones {x+y+z=17x+3y+3z=15x−y−z=5\left\{\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ 7x + 3y + 3z &= 15 \\ x - y - z &= 5 \end{aligned}\right.…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 4Sistemas de ecuaciones
Ejercicio 3.1 (bloque con optatividad 1). Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · JulioSistemas de ecuaciones
Ejercicio 2 (parte obligatoria). Una empresa produce tres tipos de productos, AA, BB y CC. Si el precio…
Matemáticas II · Andalucía · 2026 · Reserva 2
Apuntes y todos los problemas de Álgebra →