En un espacio muestral se consideran tres sucesos A, B y C, tales que P(A \cup B \cup C) = 1. Sabiendo que los sucesos B y C son independientes y que P(A) = 0{,}5, P(\overline{C}) = 0{,}3, P(B \cup C) = 0{,}73, P(A \cap C) = 0{,}21 y P(A \cap B \cap C) = 0{,}06, se pide: a) (1 punto) Estudiar si los sucesos A y B \cup C son independientes. b) (1,5 puntos) Calcular P(B) y P\big(C \cap (A \cup B)\big).

Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

En un espacio muestral se consideran tres sucesos

A

B

C

, tales que

P(A \cup B \cup C) = 1

. Sabiendo que los sucesos

B

C

son independientes y que

P(A) = 0{,}5

P(\overline{C}) = 0{,}3

P(B \cup C) = 0{,}73

P(A \cap C) = 0{,}21

P(A \cap B \cap C) = 0{,}06

, se pide:

a) (1 punto) Estudiar si los sucesos

A

B \cup C

son independientes.

b) (1,5 puntos) Calcular

P(B)

P\big(C \cap (A \cup B)\big)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } P\big(A \cap (B \cup C)\big) = 0{,}23 \neq 0{,}365 = P(A)\,P(B \cup C):\ \text{no son independientes}\;}

\boxed{\;\text{b) } P(B) = 0{,}1, \qquad P\big(C \cap (A \cup B)\big) = 0{,}22\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo sale de la fórmula de la unión,

P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)

, aplicada a los sucesos adecuados:

En a) escribo $A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C)$ : así la unión de tres se convierte en la unión de dos sucesos cuyas probabilidades conozco, y de ella despejo $P\big(A \cap (B \cup C)\big)$ . Luego comparo con el producto $P(A)\cdot P(B \cup C)$ .
En b), la independencia de $B$ y $C$ da $P(B \cap C) = P(B)\,P(C)$ , y con la unión $B \cup C$ despejo $P(B)$ . Para la última probabilidad uso la propiedad distributiva: $C \cap (A \cup B) = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ .

Ojo con el dato

P(\overline C) = 0{,}3

: lo que se usa es

P(C) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7

Desarrollo

Dato previo:

P(C) = 1 - P(\overline C) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7

.

a) Como

A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C)

1 = P\big(A \cup (B \cup C)\big) = P(A) + P(B \cup C) - P\big(A \cap (B \cup C)\big) = 0{,}5 + 0{,}73 - P\big(A \cap (B \cup C)\big),

de donde

P\big(A \cap (B \cup C)\big) = 1{,}23 - 1 = 0{,}23.

Por otro lado,

P(A)\cdot P(B \cup C) = 0{,}5 \cdot 0{,}73 = 0{,}365

. Como

P\big(A \cap (B \cup C)\big) = 0{,}23 \neq 0{,}365 = P(A)\cdot P(B \cup C),

$A$ y $B \cup C$ no son independientes.

b) Al ser

B

C

independientes,

P(B \cap C) = P(B)\cdot P(C) = 0{,}7\,P(B)

. Entonces

P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) \;\Longrightarrow\; 0{,}73 = P(B) + 0{,}7 - 0{,}7\,P(B) = 0{,}7 + 0{,}3\,P(B),

P(B) = \frac{0{,}73 - 0{,}7}{0{,}3} = \frac{0{,}03}{0{,}3} = 0{,}1.

Por tanto

P(B \cap C) = 0{,}1 \cdot 0{,}7 = 0{,}07

.

Para la otra probabilidad, por la propiedad distributiva,

C \cap (A \cup B) = (A \cap C) \cup (B \cap C), \qquad (A \cap C) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C,

así que

P\big(C \cap (A \cup B)\big) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C) = 0{,}21 + 0{,}07 - 0{,}06 = 0{,}22.

Comprobación de coherencia. De a),

P\big(A \cap (B \cup C)\big) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)

, luego

0{,}23 = P(A \cap B) + 0{,}21 - 0{,}06

P(A \cap B) = 0{,}08

. Todos los valores son compatibles entre sí (

0{,}06 \le 0{,}07 \le 0{,}1

0{,}08 \le 0{,}1

0{,}22 \le 0{,}7

), y el resultado es una probabilidad entre

0

1

✓.

Consejo

La clave de a) es ver $A \cup B \cup C$ como la unión de dos sucesos, $A$ y $B \cup C$ . Así no necesitas la fórmula larga de la unión de tres, para la que te faltarían datos.

Lee con cuidado los datos: el enunciado da $P(\overline C)$ , no $P(C)$ . Y para justificar la independencia (o su falta) escribe la comparación $P(X \cap Y) \stackrel{?}{=} P(X)\,P(Y)$ con los dos números: es lo que se puntúa.