Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Los vértices de un triángulo son

A(-1, 0, 1)

B(0, 1, 0)

y un punto

C

situado sobre la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} 2x - y = 0 \\ x + z = -1 \end{array}\right.

a) (1,5 puntos) Calcule las posibles coordenadas de

C

sabiendo que el área del triángulo es

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

.

b) (1 punto) Determine una ecuación de la recta que pasa por

P(2, 1, -1)

y es paralela a la recta dada

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } C_1 = (1, 2, -2) \quad \text{o} \quad C_2 = (2, 4, -3)\;}

\boxed{\;\text{b) } s \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1} \ \Longleftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} 2x - y - 3 = 0 \\ x + z - 1 = 0 \end{array}\right.\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Lo primero es pasar

r

a paramétricas: así el punto

C

queda escrito con una sola incógnita,

\lambda

.

En a) el área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos lados:

\text{Área} = \frac{1}{2}\,\big|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\big|

. Igualar a

\frac{\sqrt 2}{2}

da una ecuación de segundo grado en

\lambda

: saldrán (en general) dos puntos

C

.

En b) una recta paralela a

r

tiene su mismo vector director; basta con hacerla pasar por

P

Desarrollo

Paramétricas de $r$ . Tomando

x = \lambda

: de

2x - y = 0

sale

y = 2\lambda

y de

x + z = -1

z = -1 - \lambda

r \equiv (x, y, z) = (\lambda,\ 2\lambda,\ -1 - \lambda), \qquad \vec{v}_r = (1, 2, -1).

a) El punto genérico de

r

C(\lambda, 2\lambda, -1 - \lambda)

. Entonces

\overrightarrow{AB} = (1, 1, -1), \qquad \overrightarrow{AC} = (\lambda + 1,\ 2\lambda,\ -2 - \lambda),

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k \\ 1 & 1 & -1 \\ \lambda + 1 & 2\lambda & -2 - \lambda \end{vmatrix} = \big(-2 - \lambda + 2\lambda,\ -(-2 - \lambda + \lambda + 1),\ 2\lambda - \lambda - 1\big) = (\lambda - 2,\ 1,\ \lambda - 1).

Su módulo al cuadrado es

(\lambda - 2)^2 + 1 + (\lambda - 1)^2 = 2\lambda^2 - 6\lambda + 6.

La condición sobre el área:

\frac{1}{2}\sqrt{2\lambda^2 - 6\lambda + 6} = \frac{\sqrt 2}{2} \;\Longrightarrow\; 2\lambda^2 - 6\lambda + 6 = 2 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1 \ \text{o}\ \lambda = 2.

$\lambda = 1$ : $C_1 = (1, 2, -2)$ .
$\lambda = 2$ : $C_2 = (2, 4, -3)$ .

Comprobación con

C_1

\overrightarrow{AC_1} = (2, 2, -3)

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_1} = (-1, 1, 0)

, de módulo

\sqrt 2

; el área es

\frac{\sqrt 2}{2}

✓. Con

C_2

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC_2} = (0, 1, 1)

, también de módulo

\sqrt 2

✓. Los dos puntos cumplen las ecuaciones de

r

2\cdot 1 - 2 = 0

1 - 2 = -1

;

2\cdot 2 - 4 = 0

2 - 3 = -1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) La recta pedida,

s

, tiene el vector director de

r

\vec v_r = (1, 2, -1)

, y pasa por

P(2, 1, -1)

s \equiv (x, y, z) = (2 + \mu,\ 1 + 2\mu,\ -1 - \mu), \quad \mu \in \mathbb{R} \qquad \text{o bien} \qquad \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 1}{-1}.

Otra forma: como intersección de dos planos paralelos a los que definen

r

y que pasan por

P

2x - y + d = 0

con

4 - 1 + d = 0

, y

x + z + d' = 0

con

2 - 1 + d' = 0

s \equiv \left\{\begin{array}{l} 2x - y - 3 = 0 \\ x + z - 1 = 0 \end{array}\right.

P

cumple las dos ecuaciones ✓, y como los planos son paralelos a los de

r

, la recta tiene su misma dirección.

Consejo

El área exige el módulo del producto vectorial y el factor $\frac12$ : olvidarlo duplica el área y cambia los puntos. Eleva al cuadrado los dos miembros para quitar la raíz y no te quedes con una sola solución: la ecuación es de segundo grado y la corrección da 0,25 puntos por cada punto $C$ .

Para el vector director de una recta en implícitas puedes hacer el producto vectorial de los normales, $(2, -1, 0) \times (1, 0, 1) = (-1, -2, 1)$ , que es proporcional a $(1, 2, -1)$ .