Matemáticas IIMedio2,5 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} x e^x & \text{si } x < 1 \\[6pt] e + \dfrac{x \ln x}{x^2 + 1} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

y se pide:

a) (1 punto) Estudiar la continuidad y derivabilidad de

f

x = 1

.

b) (0,75 puntos) Calcular

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)

.

c) (0,75 puntos) Calcular

\displaystyle\int_0^1 f(x)\, dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) Continua en } x = 1;\ \text{no derivable: } f'(1^-) = 2e \neq \tfrac{1}{2} = f'(1^+)\;}

\boxed{\;\text{b) } \lim_{x\to+\infty} f(x) = e \qquad \text{c) } \int_0^1 f(x)\,dx = 1\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el único punto delicado es el cambio de definición. Para la continuidad comparo los dos límites laterales con

f(1)

; para la derivabilidad, como cada trozo es derivable en su intervalo abierto, comparo las derivadas laterales, que se obtienen derivando cada expresión y evaluando en

x = 1

(o con el cociente incremental, que da lo mismo).

En b) solo cuenta el segundo trozo: el término

\frac{x\ln x}{x^2+1}

\frac{\infty}{\infty}

, pero el denominador crece como

x^2

y el numerador como

x \ln x

, mucho más despacio.

En c) el intervalo

[0, 1]

cae en el primer trozo (el valor en

x = 1

no cambia la integral), así que se integra

x e^x

por partes.

Desarrollo

a) Continuidad.

f(1) = e + \dfrac{1\cdot \ln 1}{2} = e

, y

\lim_{x \to 1^-} x e^x = 1\cdot e = e, \qquad \lim_{x \to 1^+}\left(e + \frac{x \ln x}{x^2 + 1}\right) = e + \frac{0}{2} = e.

Los dos límites laterales coinciden con

f(1)

: $f$ es continua en $x = 1$ .

Derivabilidad. Derivo cada trozo:

\left(x e^x\right)' = e^x + x e^x = (1 + x)e^x, \qquad \left(\frac{x \ln x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{(\ln x + 1)(x^2 + 1) - x \ln x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}.

Como

f

es continua en

1

, las derivadas laterales son los límites de estas expresiones:

f'(1^-) = (1 + 1)e^1 = 2e, \qquad f'(1^+) = \frac{(0 + 1)\cdot 2 - 0}{2^2} = \frac{1}{2}.

Como

2e \neq \frac{1}{2}

, $f$ no es derivable en $x = 1$ (la gráfica tiene un punto anguloso).

b) Para

x \to +\infty

se usa el segundo trozo. El cociente

\frac{x \ln x}{x^2+1}

\frac{\infty}{\infty}

; aplicando L'Hôpital dos veces:

\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x + 1}{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{2} = 0.

(También se ve dividiendo:

\frac{x\ln x}{x^2+1} = \frac{\ln x / x}{1 + 1/x^2}

\frac{\ln x}{x} \to 0

.) Por tanto,

\lim_{x \to +\infty} f(x) = e + 0 = e.

La recta

y = e

es asíntota horizontal por la derecha.

c) En

[0, 1)

f(x) = x e^x

. Por partes, con

u = x

dv = e^x\,dx

(

du = dx

v = e^x

\int x e^x\, dx = x e^x - \int e^x\, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C.

Por la regla de Barrow:

\int_0^1 f(x)\, dx = \Big[(x - 1)e^x\Big]_0^1 = (0)\cdot e - (-1)\cdot e^0 = 1.

Comprobación de la primitiva:

\big((x - 1)e^x\big)' = e^x + (x - 1)e^x = x e^x

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la derivabilidad la corrección da 0,75 puntos: calcula las dos derivadas laterales y concluye. Antes, deja escrito que $f$ es continua en $x = 1$ : sin continuidad no hay derivabilidad, y es lo que permite calcular las derivadas laterales como límites de $f'$ .

En c), fíjate en qué trozo cae el intervalo: entre $0$ y $1$ manda $x e^x$ . Integrar el otro trozo, o los dos, es el error más caro.