Matemáticas IIMedio2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro real

a

\left.\begin{array}{r} 2x - y + az = -a \\ x + 2y + 3z = -2 \\ ax + ay + 2z = -8 \end{array}\right\}

a) (2 puntos) Discuta el sistema en función del parámetro

a

.

b) (0,5 puntos) Resuelva el sistema para

a = -10

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } a \neq 1,\, -10:\ \text{S.C.D.};\qquad a = 1:\ \text{S.I.};\qquad a = -10:\ \text{S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } x = \frac{18 + 17\lambda}{5}, \quad y = \frac{-14 - 16\lambda}{5}, \quad z = \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un sistema

3\times 3

con un parámetro, así que la herramienta es el teorema de Rouché-Frobenius. Primero calculo el determinante de la matriz de coeficientes

A

: donde no se anula,

\operatorname{rg} A = 3 = \operatorname{rg} A^*

y el sistema es compatible determinado. Después estudio aparte cada valor que anula el determinante, comparando el rango de

A

con el de la ampliada

A^*

.

En b) el valor

a = -10

es uno de los críticos: el sistema tendrá infinitas soluciones y habrá que darlas en función de un parámetro.

Desarrollo

Las matrices del sistema son

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & a \\ 1 & 2 & 3 \\ a & a & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & a & -a \\ 1 & 2 & 3 & -2 \\ a & a & 2 & -8 \end{array}\right).

a) Desarrollando por la primera fila:

|A| = 2(4 - 3a) + 1\,(2 - 3a) + a\,(a - 2a) = 8 - 6a + 2 - 3a - a^2 = -a^2 - 9a + 10.

-a^2 - 9a + 10 = 0 \;\Longleftrightarrow\; a^2 + 9a - 10 = 0 \;\Longleftrightarrow\; a = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2} = \frac{-9 \pm 11}{2} \;\Longrightarrow\; a = 1 \ \text{o}\ a = -10.

En los dos casos,

\operatorname{rg} A = 2

, porque el menor

\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \neq 0

no depende de

a

Si $a \neq 1$ y $a \neq -10$ : $|A| \neq 0$ , luego $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 3 =$ número de incógnitas. Sistema compatible determinado.

Si $a = 1$ : orlo el menor anterior con la columna de términos independientes ( $-1, -2, -8$ ):

\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -8 \end{vmatrix} = 2(-16 + 2) + 1\,(-8 + 2) - 1\,(1 - 2) = -28 - 6 + 1 = -33 \neq 0.

Así

\operatorname{rg} A = 2 \neq 3 = \operatorname{rg} A^*

. Sistema incompatible.

Si $a = -10$ : los términos independientes son $(10, -2, -8)$ y el menor orlado con ellos vale

\begin{vmatrix} 2 & -1 & 10 \\ 1 & 2 & -2 \\ -10 & -10 & -8 \end{vmatrix} = 2(-16 - 20) + 1\,(-8 - 20) + 10\,(-10 + 20) = -72 - 28 + 100 = 0.

La columna de términos independientes es combinación de las dos primeras (que son independientes), así que

\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^* = 2 < 3

. Sistema compatible indeterminado, con un grado de libertad.

b) Con

a = -10

me quedo con las dos primeras ecuaciones (la tercera depende de ellas) y tomo

z = \lambda

\left\{\begin{array}{l} 2x - y = 10 + 10\lambda \\ x + 2y = -2 - 3\lambda \end{array}\right.

Multiplicando la primera por

2

y sumando:

5x = 18 + 17\lambda

, es decir,

x = \dfrac{18 + 17\lambda}{5}

. Entonces

y = 2x - 10 - 10\lambda = \frac{36 + 34\lambda - 50 - 50\lambda}{5} = \frac{-14 - 16\lambda}{5}.

Comprobación con

\lambda = 1

, es decir,

(x, y, z) = (7, -6, 1)

$2\cdot 7 - (-6) - 10\cdot 1 = 10$ ✓
$7 + 2(-6) + 3 = -2$ ✓
$-10\cdot 7 - 10(-6) + 2 = -8$ ✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La discusión vale 1,5 de los 2 puntos de a): 0,5 por cada caso. No basta con decir «si $|A| = 0$ el sistema no es compatible determinado»: en cada valor crítico hay que calcular el rango de la ampliada, porque uno da incompatible y el otro indeterminado.

Para el rango de $A^*$ basta orlar un menor $2\times 2$ no nulo con la columna de términos independientes. Y en b) comprueba la solución con un valor concreto de $\lambda$ en las tres ecuaciones, también en la que has descartado.