Distribución normal

a) Sea $(a, b)$ el número de aciertos de Antonio y Benito tras $k$ lanzamientos de cada uno. Con $5 - k$ lanzamientos por delante, quien va detrás puede recortar como mucho $5 - k$ aciertos; si la diferencia es exactamente $5 - k$ todavía podría empatar (y entonces fregarían juntos), así que el resultado está decidido solo si $|a - b| > 5 - k$.

• Tras $k = 1$ o $k = 2$: haría falta $|a - b| > 4$ o $> 3$, imposible con como mucho 2 aciertos cada uno.
• A mitad de una ronda tampoco se decide antes: por ejemplo, si Antonio lleva 3 aciertos en 3 tiros y Benito 0 en 2, a Benito le quedan 3 tiros y aún podría empatar.
• Tras $k = 3$: hace falta $|a - b| > 2$, es decir, $|a - b| = 3$: o Antonio acierta los 3 y Benito falla los 3, o al revés.

Con independencia entre lanzamientos ($P(\text{A acierta}) = 0{,}25$, $P(\text{B acierta}) = 0{,}3$):$$P(\text{A: 3 aciertos, B: 0}) = 0{,}25^3 \cdot 0{,}7^3 = 0{,}015625 \cdot 0{,}343 = 0{,}005359375$$$$P(\text{A: 0 aciertos, B: 3}) = 0{,}75^3 \cdot 0{,}3^3 = 0{,}421875 \cdot 0{,}027 = 0{,}011390625$$Son sucesos incompatibles, así que$$P(\text{decidido antes del cuarto}) = 0{,}005359375 + 0{,}011390625 = 0{,}01675$$Es muy poco probable: alrededor de un $1{,}7\,\%$. (En el primer caso friega Benito; en el segundo, Antonio.)

b) Sea $X$ = número de aciertos de Antonio en 60 lanzamientos. Cada lanzamiento es independiente y acierta con probabilidad $0{,}25$, así que $X \sim B(60;\ 0{,}25)$. "Fallar en al menos dos terceras partes de 60" es fallar al menos $40$ veces, es decir, acertar como mucho 20: se pide $P(X \le 20)$.

Como $np = 15 \ge 5$ y $nq = 45 \ge 5$, la aproximación normal es aceptable, con$$\mu = np = 60 \cdot 0{,}25 = 15, \qquad \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{60 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{11{,}25} \approx 3{,}354$$Tomo $X' \sim N(15;\ 3{,}354)$ y aplico la corrección por continuidad (el valor entero 20 ocupa el intervalo $[19{,}5;\ 20{,}5]$):$$P(X \le 20) \approx P(X' \le 20{,}5) = P\left(Z \le \frac{20{,}5 - 15}{3{,}354}\right) = P(Z \le 1{,}64) = 0{,}9495$$(el cociente es $1{,}6398\ldots$, que redondeo a $1{,}64$ para entrar en la tabla).

Comprobación contando fallos en vez de aciertos: $Y = 60 - X \sim B(60;\ 0{,}75)$, $\mu = 45$, mismo $\sigma$; $P(Y \ge 40) \approx P(Y' \ge 39{,}5) = P(Z \ge -1{,}64) = 0{,}9495$ ✓.