Rectas y planos

Elementos de las rectas. De la continua de $r$:$$P_r(2,\ -1,\ 0), \qquad \vec{v}_r = (3,\ -1,\ 1)$$Para $s$, tomo $x = t$: de $x - y = 5$ sale $y = t - 5$ y de $x + z = 3$ sale $z = 3 - t$. Así$$s \equiv (t,\ t - 5,\ 3 - t), \qquad P_s(0,\ -5,\ 3), \qquad \vec{v}_s = (1,\ 1,\ -1)$$(se puede comprobar con el producto vectorial de las normales: $(1,-1,0) \times (1,0,1) = (-1,-1,1)$, proporcional a $\vec{v}_s$ ✓).

a) $\vec{v}_r = (3,-1,1)$ y $\vec{v}_s = (1,1,-1)$ no son proporcionales ($\frac{3}{1} \neq \frac{-1}{1}$), luego las rectas no son paralelas ni coincidentes. Con $\overrightarrow{P_rP_s} = (-2,\ -4,\ 3)$:$$\bigl[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{P_rP_s}\bigr] = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -2 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 3(3 - 4) + 1\,(3 - 2) + 1\,(-4 + 2) = -3 + 1 - 2 = -4 \neq 0$$Los tres vectores no son coplanarios ($\operatorname{rg}(\vec{v}_r, \vec{v}_s) = 2$ y $\operatorname{rg}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{P_rP_s}) = 3$): las rectas se cruzan.

Para la distancia:$$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 - 1)\,\vec{i} - (-3 - 1)\,\vec{j} + (3 + 1)\,\vec{k} = (0,\ 4,\ 4), \qquad |\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$$$d(r, s) = \frac{|-4|}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\ \text{u} \approx 0{,}71\ \text{u}$$b) El plano $\pi$ que pasa por $P(5,-1,2)$ y es perpendicular a $r$ tiene como normal $\vec{v}_r = (3,-1,1)$:$$3(x - 5) - (y + 1) + (z - 2) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 3x - y + z - 18 = 0$$Corto con $r \equiv (2 + 3\lambda,\ -1 - \lambda,\ \lambda)$:$$3(2 + 3\lambda) - (-1 - \lambda) + \lambda - 18 = 0 \;\Longrightarrow\; 11\lambda - 11 = 0 \;\Longrightarrow\; \lambda = 1$$El pie de la perpendicular es $H(5,\ -2,\ 1)$. La recta pedida pasa por $P$ y por $H$, con director$$\overrightarrow{PH} = (0,\ -1,\ -1) \parallel (0,\ 1,\ 1)$$$$t \equiv (x, y, z) = (5,\ -1,\ 2) + \mu\,(0,\ 1,\ 1), \quad \mu \in \mathbb{R} \qquad\Longleftrightarrow\qquad t \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 5 \\ y - z + 3 = 0 \end{array}\right.$$Comprobaciones. $H$ está en $r$: $\frac{5-2}{3} = \frac{-2+1}{-1} = \frac{1}{1} = 1$ ✓. Perpendicularidad: $(0,1,1)\cdot(3,-1,1) = 0 - 1 + 1 = 0$ ✓. $P$ no está en $r$ ($\frac{5-2}{3} = 1$ pero $\frac{-1+1}{-1} = 0$), así que la recta está bien definida. De paso, $d(P, r) = |\overrightarrow{PH}| = \sqrt{2}$.