Integrales

a) Paridad.$$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$$para todo $x \in \mathbb{R}$, así que $f$ es impar (su gráfica es simétrica respecto del origen). No es par, porque por ejemplo $f(1) = -2$ y $f(-1) = 2$ son distintos.

Monotonía. $f$ es un polinomio, derivable en todo $\mathbb{R}$, con$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$$que se anula en $x = -1$ y $x = 1$. El signo en cada intervalo:(por ejemplo, $f'(-2) = 9 > 0$, $f'(0) = -3 < 0$, $f'(2) = 9 > 0$). Por tanto $f$ es creciente en $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ y decreciente en $(-1, 1)$. Que los intervalos de crecimiento sean simétricos es coherente con que $f$ sea impar.

b) Puntos de corte. $g(x) = x^2 - 3x$, y$$f(x) = g(x) \iff x^3 - 3x = x^2 - 3x \iff x^3 - x^2 = 0 \iff x^2(x - 1) = 0 \iff x = 0 \ \text{ o } \ x = 1$$Las gráficas se cortan en $(0, 0)$ y en $(1, -2)$. En $x = 0$ la raíz es doble: ahí las curvas son tangentes ($f'(0) = g'(0) = -3$) y no se cruzan. Fuera de $[0, 1]$ no vuelven a encontrarse, así que la única región acotada es la comprendida entre $x = 0$ y $x = 1$.

Quién va por encima. En $(0, 1)$, $f(x) - g(x) = x^2(x - 1) < 0$ porque $x^2 > 0$ y $x - 1 < 0$. Luego $g$ va por encima de $f$. (Por ejemplo, en $x = \frac{1}{2}$: $g = -\frac{5}{4}$ y $f = -\frac{11}{8}$, y $-\frac{5}{4} > -\frac{11}{8}$.)

Área.$$\text{Área} = \int_0^1 \bigl(g(x) - f(x)\bigr)\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\ \text{u}^2$$Comprobación: el resultado es positivo, como debe ser un área, y pequeño, coherente con una región estrecha (en $x = \frac{2}{3}$, donde la separación es máxima, las curvas solo distan $\frac{4}{27} \approx 0{,}15$).