En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles, A_1 y A_2, de igual probabilidad 0{,}4 y se considera A_3 = \overline{A_1 \cup A_2} (por tanto, la probabilidad de A_3 es 0{,}2). De cierto suceso B se sabe que P(B \mid A_1) = P(B \mid A_2) y P(B \mid A_3) = 2P(B \mid A_1). Y de un suceso C independiente de A_1 se sabe que P(C \mid A_2) = 0{,}3 y P(C \mid A_3) = 0{,}6. Con estos datos se pide: a) (1 punto) Calcular la probabilidad de B si P(B \mid A_1) = 0{,}25. b) (1,5 puntos) Calcular la probabilidad de C y determinar si C es independiente de A_2.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio

Enunciado

En un espacio muestral se tienen dos sucesos incompatibles,

A_1

A_2

, de igual probabilidad

0{,}4

y se considera

A_3 = \overline{A_1 \cup A_2}

(por tanto, la probabilidad de

A_3

0{,}2

). De cierto suceso

B

se sabe que

P(B \mid A_1) = P(B \mid A_2)

P(B \mid A_3) = 2P(B \mid A_1)

. Y de un suceso

C

independiente de

A_1

se sabe que

P(C \mid A_2) = 0{,}3

P(C \mid A_3) = 0{,}6

. Con estos datos se pide:

a) (1 punto) Calcular la probabilidad de

B

P(B \mid A_1) = 0{,}25

.

b) (1,5 puntos) Calcular la probabilidad de

C

y determinar si

C

es independiente de

A_2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } P(B) = 0{,}3}

\boxed{\text{b) } P(C) = 0{,}4;\ \ P(C \cap A_2) = 0{,}12 \neq 0{,}16 = P(C)\,P(A_2) \Rightarrow C \text{ no es independiente de } A_2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La clave está en darse cuenta de que

A_1

A_2

A_3

forman un sistema completo de sucesos: son incompatibles dos a dos y su unión es todo el espacio (

A_3

es justo lo que no está en

A_1

ni en

A_2

). Eso permite usar el teorema de la probabilidad total con cualquier otro suceso.

En a) se aplica directamente a

B

: todas las condicionadas salen de

P(B \mid A_1) = 0{,}25

.

En b) pasa algo más curioso: la probabilidad total de

C

incluye el término

P(C \cap A_1)

, que no conocemos directamente; pero como

C

es independiente de

A_1

, ese término vale

P(C)\cdot P(A_1)

. Aparece

P(C)

a los dos lados y se despeja de una ecuación lineal. Para la independencia con

A_2

se compara

P(C \cap A_2)

con

P(C)\cdot P(A_2)

Desarrollo

Sistema completo.

A_1

A_2

son incompatibles, así que

P(A_1 \cup A_2) = 0{,}4 + 0{,}4 = 0{,}8

P(A_3) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2

. Además

A_3

no corta ni a

A_1

ni a

A_2

, y

A_1 \cup A_2 \cup A_3 = \Omega

. Por tanto

\{A_1, A_2, A_3\}

es un sistema completo de sucesos.

a) Con

P(B \mid A_1) = 0{,}25

tenemos

P(B \mid A_2) = 0{,}25

P(B \mid A_3) = 2\cdot 0{,}25 = 0{,}5

. Por el teorema de la probabilidad total:

P(B) = P(A_1)\,P(B \mid A_1) + P(A_2)\,P(B \mid A_2) + P(A_3)\,P(B \mid A_3)

P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}25 + 0{,}4 \cdot 0{,}25 + 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}3

b) Descompongo

C

en tres trozos disjuntos usando el sistema completo:

P(C) = P(C \cap A_1) + P(C \cap A_2) + P(C \cap A_3)

Por la independencia de $C$ y $A_1$ : $P(C \cap A_1) = P(C)\cdot P(A_1) = 0{,}4\,P(C)$ .
$P(C \cap A_2) = P(A_2)\,P(C \mid A_2) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ .
$P(C \cap A_3) = P(A_3)\,P(C \mid A_3) = 0{,}2 \cdot 0{,}6 = 0{,}12$ .

Sustituyendo:

P(C) = 0{,}4\,P(C) + 0{,}12 + 0{,}12 \;\Longrightarrow\; 0{,}6\,P(C) = 0{,}24 \;\Longrightarrow\; P(C) = \frac{0{,}24}{0{,}6} = 0{,}4

¿Es $C$ independiente de $A_2$ ? Lo sería si

P(C \cap A_2) = P(C)\cdot P(A_2)

. Pero

P(C \cap A_2) = 0{,}12 \qquad\text{y}\qquad P(C)\cdot P(A_2) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16

Como

0{,}12 \neq 0{,}16

, $C$ no es independiente de $A_2$ . Dicho de otra forma:

P(C \mid A_2) = 0{,}3

es distinta de

P(C) = 0{,}4

, así que saber que ha ocurrido

A_2

cambia la probabilidad de

C

.

Comprobación. Con

P(C) = 0{,}4

resulta

P(C \cap A_1) = 0{,}16

, y

0{,}16 + 0{,}12 + 0{,}12 = 0{,}4

✓. Además

P(C \mid A_1) = 0{,}16/0{,}4 = 0{,}4 = P(C)

, coherente con la independencia de

C

A_1

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de aplicar la probabilidad total, justifica que $A_1$ , $A_2$ y $A_3$ son un sistema completo: incompatibles dos a dos y con unión el espacio entero. Es la hipótesis del teorema y el corrector la busca en el planteamiento.

En b) no te bloquees porque falte $P(C \mid A_1)$ : la independencia te la da, porque $P(C \cap A_1) = P(C)\,P(A_1)$ . Y para concluir sobre la independencia con $A_2$ , escribe las dos cantidades que comparas; un "no" sin números no puntúa.