Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Comunidad de Madrid · 2024 · Julio

Enunciado

Sean los puntos

P(1, -1, 3)

Q(2, 1, -1)

:

a) (1 punto) Determine una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos.

b) (1,5 puntos) El segmento

PQ

es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es

34

y el tercer vértice se encuentra en la recta

r \equiv x - 2 = y = z

. Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \pi \equiv 2x + 4y - 8z + 5 = 0}

\boxed{\text{b) } A\left(\tfrac{7}{3},\ \tfrac{1}{3},\ \tfrac{1}{3}\right) \quad (t = 0 \text{ da } (2,0,0) \text{, descartado})}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), que

P

Q

sean simétricos respecto de un plano quiere decir que ese plano es el plano mediador del segmento

PQ

: perpendicular a

\overrightarrow{PQ}

(que hace de vector normal) y que pasa por el punto medio

M

.

En b) llamo

A

al tercer vértice. La condición es

|\overrightarrow{PQ}|^2 + |\overrightarrow{AP}|^2 + |\overrightarrow{AQ}|^2 = 34

. El primer sumando es un número; para los otros dos escribo

A

con el parámetro de la recta

r

, y la condición se convierte en una ecuación de segundo grado en ese parámetro. Saldrán dos puntos: la pista "ninguna coordenada es nula" sirve para quedarse con uno.

Desarrollo

a) El vector del segmento y su punto medio son

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (1,\ 2,\ -4), \qquad M = \left(\frac{1+2}{2},\ \frac{-1+1}{2},\ \frac{3-1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2},\ 0,\ 1\right)

El plano

\pi

buscado tiene normal

\vec{n} = \overrightarrow{PQ} = (1, 2, -4)

, así que es de la forma

x + 2y - 4z + D = 0

. Imponiendo que pase por

M

\frac{3}{2} + 0 - 4 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = \frac{5}{2}

\pi \equiv x + 2y - 4z + \frac{5}{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \pi \equiv 2x + 4y - 8z + 5 = 0

Comprobación. Con

\pi \equiv 2x + 4y - 8z + 5 = 0

: en

P

vale

2 - 4 - 24 + 5 = -21

y en

Q

vale

4 + 4 + 8 + 5 = 21

. Mismo valor absoluto (están a la misma distancia,

21/\sqrt{84}

) y signo contrario (a distinto lado), y el segmento es perpendicular al plano: son simétricos ✓.

b) Primer lado:

|\overrightarrow{PQ}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-4)^2 = 21

luego los otros dos lados deben cumplir

|\overrightarrow{AP}|^2 + |\overrightarrow{AQ}|^2 = 34 - 21 = 13

.

La recta

r \equiv x - 2 = y = z

pasa por

(2, 0, 0)

con director

(1, 1, 1)

; sus puntos son

A(2 + t,\ t,\ t)

t \in \mathbb{R}

. Entonces

\overrightarrow{AP} = P - A = (-1 - t,\ -1 - t,\ 3 - t), \qquad |\overrightarrow{AP}|^2 = 2(1 + t)^2 + (3 - t)^2 = 3t^2 - 2t + 11

\overrightarrow{AQ} = Q - A = (-t,\ 1 - t,\ -1 - t), \qquad |\overrightarrow{AQ}|^2 = t^2 + (1 - t)^2 + (1 + t)^2 = 3t^2 + 2

La condición queda

3t^2 - 2t + 11 + 3t^2 + 2 = 13 \;\Longrightarrow\; 6t^2 - 2t = 0 \;\Longrightarrow\; 2t(3t - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0 \ \text{ o } \ t = \frac{1}{3}

$t = 0$ da $A(2, 0, 0)$ , que tiene dos coordenadas nulas: se descarta.
$t = \frac{1}{3}$ da $A\left(\frac{7}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3}\right)$ , sin coordenadas nulas.

Comprobación. Con

A\left(\frac{7}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)

\overrightarrow{AP} = \left(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{8}{3}\right)

|\overrightarrow{AP}|^2 = \frac{16 + 16 + 64}{9} = \frac{96}{9}

;

\overrightarrow{AQ} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)

|\overrightarrow{AQ}|^2 = \frac{1 + 4 + 16}{9} = \frac{21}{9}

. Suma de los tres cuadrados:

21 + \frac{96}{9} + \frac{21}{9} = 21 + 13 = 34

✓. Además

\overrightarrow{AP} = -\frac{4}{3}(1, 1, -2)

no es proporcional a

\overrightarrow{PQ} = (1, 2, -4)

, así que

A

P

Q

no están alineados y forman de verdad un triángulo ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El plano de simetría de dos puntos es su plano mediador: normal $\overrightarrow{PQ}$ y paso por el punto medio. Un despiste típico es hacerlo pasar por $P$ o por $Q$ , que da un plano paralelo pero equivocado.

En b) la ecuación de segundo grado da dos candidatos y los dos cumplen la suma de cuadrados. Usa el dato final ("ninguna coordenada es nula") para descartar uno y dilo por escrito: dar los dos puntos, o elegir sin justificar, cuesta parte de la nota.