Derivadas y aplicaciones

Escribo $p(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$, de modo que $p'(x) = 2ax + b$ y $p''(x) = 2a$.

a) Las condiciones de tangencia en $(0,0)$ con la recta $y = x$ (pendiente 1):$$p(0) = 0 \;\Longrightarrow\; c = 0, \qquad p'(0) = 1 \;\Longrightarrow\; b = 1$$El coeficiente $a$ queda libre (solo se pide $a \neq 0$ para que sea de grado 2). Todas las funciones $p(x) = ax^2 + x$ con $a \neq 0$ sirven; por ejemplo, con $a = 1$:$$p(x) = x^2 + x$$Comprobación: $p(0) = 0$ y $p'(x) = 2x + 1$, así que $p'(0) = 1$; la tangente en $(0,0)$ es $y = 0 + 1\cdot(x - 0) = x$ ✓.

b) Ahora las condiciones son$$p'(1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2a + b = 0 \;\Longrightarrow\; b = -2a$$$$p(1) = 1 \;\Longrightarrow\; a + b + c = 1 \;\Longrightarrow\; c = 1 - a - b = 1 + a$$con lo que $p(x) = ax^2 - 2ax + 1 + a = a(x - 1)^2 + 1$. Para que $x = 1$ sea un máximo hace falta $p''(1) = 2a < 0$, es decir, $a < 0$. Tomando $a = -1$:$$p(x) = -(x-1)^2 + 1 = -x^2 + 2x$$Comprobación: $p(1) = -1 + 2 = 1$ ✓, $p'(x) = -2x + 2$ se anula en $x = 1$ ✓ y $p''(x) = -2 < 0$, luego es un máximo relativo ✓. (De hecho, $p(x) = 1 - (x-1)^2 \le 1$ para todo $x$: es el vértice de una parábola abierta hacia abajo.)

c) No. Si $p(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$, su derivada $p'(x) = 2ax + b$ es un polinomio de grado 1, cuya gráfica es una recta no horizontal: se anula en un único punto, $x = -\dfrac{b}{2a}$. Como $p$ es derivable en todo $\mathbb{R}$, cualquier extremo relativo tiene que estar en un punto donde $p' = 0$, así que como mucho hay uno. Y ese punto sí es extremo, porque $p'$ cambia de signo en él (o porque $p'' = 2a \neq 0$): una función polinómica de grado 2 tiene exactamente un extremo relativo, el vértice de su parábola.