Sistemas de ecuaciones

El sistema. Moviendo el vector constante al segundo miembro:$$\left\{\begin{array}{l} y + z = 1 \\ (\lambda - 1)\,x + y + z = \lambda \\ x + (\lambda - 1)\,y + z = 0 \end{array}\right. \qquad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 1 & 1 \\ \lambda - 1 & 1 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda - 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$a) Desarrollo $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 0 - 1\cdot\bigl((\lambda - 1)\cdot 1 - 1\cdot 1\bigr) + 1\cdot\bigl((\lambda - 1)^2 - 1\bigr) = -(\lambda - 2) + \lambda(\lambda - 2) = (\lambda - 2)(\lambda - 1)$$(he usado $(\lambda-1)^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2)$). Por tanto $|A| = 0 \iff \lambda = 1$ o $\lambda = 2$.

Caso $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 3$, que es el número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} y + z = 1 \\ y + z = 1 \\ x + z = 0 \end{array}\right.$$Las dos primeras ecuaciones son idénticas (también en el término independiente), así que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*)$. Además el menor de las filas 1 y 3 y las columnas 1 y 2 es $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, un parámetro).

Caso $\lambda = 2$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ x + y + z = 0 \end{array}\right.$$Las dos últimas ecuaciones tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente ($2 \neq 0$): son contradictorias. En rangos: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ da $\operatorname{rg}(A) = 2$, y en la ampliada el menor de las columnas 1, 2 y 4$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1\cdot(0 - 2) + 1\cdot(1 - 1) = 2 \neq 0$$da $\operatorname{rg}(A^*) = 3$. Como $\operatorname{rg}(A) \neq \operatorname{rg}(A^*)$, sistema incompatible.

b) Para $\lambda = 1$ basta con dos ecuaciones independientes: $y + z = 1$ y $x + z = 0$. Tomando $z = t$ como parámetro:$$x = -t, \qquad y = 1 - t, \qquad z = t, \qquad t \in \mathbb{R}$$La solución con $x = 5$ exige $-t = 5$, es decir $t = -5$:$$(x, y, z) = (5,\ 6,\ -5)$$Comprobación en el sistema original con $\lambda = 1$: primera ecuación, $6 + (-5) = 1$ ✓; segunda, $0\cdot 5 + 6 - 5 = 1 = \lambda$ ✓; tercera, $5 + 0\cdot 6 - 5 = 0$ ✓.