Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

Luis es un estudiante bastante despistado y su tutora está cansada de que llegue tarde a clase. Ella le propone el siguiente trato: si en los próximos 10 días Luis llega tarde como mucho 3 días, le subirá 1 punto en la nota final de la evaluación. Sabiendo que la probabilidad de que Luis llegue tarde a clase cada día es 0,5, determinar:

a) (0,5 puntos) El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Luis llega tarde a clase en los próximos 10 días. ¿Cuáles son sus parámetros?

b) (0,75 puntos) ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?

c) (0,75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que Luis consiga esa subida de 1 punto en la nota final?

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ X \sim B(10;\ 0{,}5) \qquad \text{b)}\ \mu = 5,\quad \sigma = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}5811}

\boxed{\text{c)}\ P(X \le 3) = \tfrac{11}{64} \approx 0{,}1719}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada día es un ensayo con dos resultados (llega tarde o no), con la misma probabilidad

p = 0{,}5

y, suponemos, independiente de los demás días. Contar los "éxitos" en

n = 10

ensayos así es una distribución binomial. Su media es

np

y su desviación típica

\sqrt{np(1-p)}

. "Como mucho 3 días" es

X \le 3

: sumamos las probabilidades de

0

1

2

3

con la fórmula de la binomial.

Desarrollo

a) Sea

X

= "número de días, de los próximos 10, que Luis llega tarde". Se cumplen las condiciones de la binomial:

hay un número fijo de pruebas, $n = 10$ días;
en cada una solo interesa si llega tarde (éxito) o no;
la probabilidad de éxito es la misma cada día, $p = 0{,}5$ ;
los días se consideran independientes.

Por tanto,

X \sim B(n = 10;\ p = 0{,}5)

b) Para una binomial

B(n, p)

, con

q = 1 - p = 0{,}5

\mu = n\,p = 10\cdot 0{,}5 = 5\ \text{días}

\sigma = \sqrt{n\,p\,q} = \sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} = \sqrt{2{,}5} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1{,}5811\ \text{días}

c) Luis consigue la subida si llega tarde como mucho 3 días, es decir, si

X \le 3

. Con

P(X = k) = \binom{10}{k}\,p^k\,q^{10 - k} = \binom{10}{k}\,(0{,}5)^{10}

(al ser

p = q = 0{,}5

, todas las potencias dan

(0{,}5)^{10} = \frac{1}{1024}

P(X \le 3) = \left[\binom{10}{0} + \binom{10}{1} + \binom{10}{2} + \binom{10}{3}\right]\frac{1}{1024} = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}

P(X \le 3) = 0{,}171875 \approx 0{,}1719

Una a una:

P(X=0) \approx 0{,}0010

P(X=1) \approx 0{,}0098

P(X=2) \approx 0{,}0439

P(X=3) \approx 0{,}1172

, que suman

0{,}1719

(lo mismo que da la tabla de la binomial para

n = 10

p = 0{,}5

).

Comprobación de sentido. La media es 5 días, así que llegar tarde 3 días o menos está por debajo de lo esperado: una probabilidad en torno al 17 % es razonable. Luis lo tiene difícil.

Consejo

En a) no basta con decir "binomial": hay que justificarlo (dos resultados, $p$ constante, ensayos independientes) y dar los dos parámetros, $n = 10$ y $p = 0{,}5$ .

"Como mucho 3" incluye el 0 y el 3: $P(X \le 3)$ , no $P(X < 3)$ . Y no olvides los números combinatorios: $\binom{10}{3} = 120$ es el sumando que más pesa.