Matemáticas IIFácil2 pts

Probabilidad

Extremadura · 2024 · Junio

Enunciado

En una residencia de ancianos el 80 % de los residentes tiene cuenta de correo electrónico, el 60 % tiene redes sociales, y el 10 % no tiene ni correo electrónico ni redes sociales. Se pide calcular la probabilidad

a) (0,5 puntos) De que un residente use correo electrónico y redes sociales

b) (0,75 puntos) De que un residente use sólo una de las dos cosas.

c) (0,75 puntos) De que un residente use correo electrónico sabiendo que no usa redes sociales.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ P(C\cap R) = 0{,}5 \qquad \text{b)}\ 0{,}4 \qquad \text{c)}\ P(C\mid\overline{R}) = 0{,}75}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Llamamos

C

= "tiene correo electrónico" y

R

= "tiene redes sociales" (el enunciado mezcla "tiene" y "usa"; entendemos que es lo mismo). El dato del 10 % es el contrario de la unión: "ni correo ni redes" es

\overline{C}\cap\overline{R} = \overline{C\cup R}

. Con la unión, la fórmula

P(C\cup R) = P(C) + P(R) - P(C\cap R)

da la intersección, y con ella se rellena una tabla de contingencia de la que salen b) y c).

Desarrollo

Datos.

P(C) = 0{,}8

P(R) = 0{,}6

y, por las leyes de De Morgan,

P(\overline{C}\cap\overline{R}) = P(\overline{C\cup R}) = 0{,}1 \;\Longrightarrow\; P(C\cup R) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9

a) De la probabilidad de la unión:

P(C\cup R) = P(C) + P(R) - P(C\cap R) \;\Longrightarrow\; P(C\cap R) = 0{,}8 + 0{,}6 - 0{,}9 = 0{,}5

Con eso completamos la tabla de contingencia:

	$R$	$\overline{R}$	Total
$C$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}8$
$\overline{C}$	$0{,}1$	$0{,}1$	$0{,}2$
Total	$0{,}6$	$0{,}4$	$1$

b) "Solo una de las dos" es tener correo sin redes o redes sin correo, dos sucesos incompatibles:

P(C\cap\overline{R}) + P(\overline{C}\cap R) = (0{,}8 - 0{,}5) + (0{,}6 - 0{,}5) = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4

También: los que tienen al menos una menos los que tienen las dos,

0{,}9 - 0{,}5 = 0{,}4

✓.

c) Probabilidad condicionada:

P(C \mid \overline{R}) = \frac{P(C\cap\overline{R})}{P(\overline{R})} = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}6} = \frac{0{,}3}{0{,}4} = \frac34 = 0{,}75

Comprobación. La tabla cuadra:

0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1 = 1

, y las filas y columnas suman los datos del enunciado (

0{,}8

0{,}6

y la casilla

\overline{C}\cap\overline{R} = 0{,}1

Consejo

El 10 % de "ni una cosa ni otra" no es $P(\overline{C}) \cdot P(\overline{R})$ (eso supondría independencia, que no se dice): es $P(\overline{C\cup R})$ , el complementario de la unión.

Con dos sucesos, una tabla de contingencia ordena todos los datos y deja b) y c) a la vista. En c), el denominador es $P(\overline{R}) = 0{,}4$ , no el total.